Warum funktioniert die Trennung von Variablen zur Lösung von Differentialgleichungen? [Duplikat]

Wenn diese einfache Differentialgleichung und eine Bedingung gegeben sind,

$$\frac{dy}{dx}=e^{2x-y} \hspace{1em} , \hspace{1em} C_1 : y(0)=0$$

Unter Verwendung der Trennung von Variablen,

$$\frac{dy}{dx}=e^{2x}\cdot e^{-y} \Rightarrow \ \frac{dy}{e^{-y}}=e^{2x} \ dx$$

$$\int e^{y} \ dy= \int e^{2x} \ dx \Rightarrow \ e^{y} = \frac{e^{2x}}{2} +c$$

Auflösen nach c ,

$$e^{0} = \frac{e^{2(0)}}{2} + c \ \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} +c$$

$$c = \frac{1}{2}$$

Auflösen nach y ,

$$e^y = \frac{e^{2x}}{2} + \frac{1}{2} \ \Rightarrow e^y = \frac{1}{2}(e^{2x} + 1)$$

$$y = \ln\left(\frac{1}{2}\right) + \ln\left(e^{2x} + 1\right)$$

Endlich,

$$\boxed{y=\ln\left(e^{2x} + 1\right) -\ln(2)}$$

Frage: Im obigen Beispiel können wir sehen, dass die Methode der Variablentrennung tatsächlich bei der Lösung unserer Differentialgleichung funktioniert, aber warum? Was passiert eigentlich bei der Methode der Variablentrennung?