Lösen der nicht exakten Differentialgleichung

Lösen Sie die folgende Differentialgleichung:

A ( X D j D X + 2 j ) = X j D j D X . --Bearbeitet: siehe Anmerkungen bearbeiten

Ich habe Probleme beim Lösen dieser Gleichung. Probleme, auf die ich stoße, sind unten aufgeführt.

Erstens ist dies eine nicht exakte Differentialgleichung. Ich werde die Arbeit hier nicht einfügen, aber sie kann gesehen werden, wenn Sie die Gleichung in das Formular einfügen D M D j = D N D X , und das kommt raus D M D j ≠ D N D X . Daher müssen integrierende Faktoren verwendet werden, um das Lösen voranzutreiben.

Aber das wird sehr schwierig. Wenn Sie Ihre ODE mit einer Funktion multiplizieren möchten μ ( X ) oder ein μ ( j ) oder μ ( X , j ) Wenn Sie versuchen, den integrierenden Faktor zu finden, hebt sich nichts auf und Sie integrieren etwas, das nicht integriert werden kann.

Ich habe auch versucht, die ODE mit zu multiplizieren X a j β (weil ich das ursprünglich dachte N Und M waren Summen von Produkten von Potenzen von X Und j , aber auch dies erwies sich als unzureichend, da die A s in der ODE hat sich nicht aufgehoben, und Sie haben zwei Seiten einer Gleichung, die Sie nicht ausgleichen können.

Lassen Sie mich dort zurück, wo ich angefangen habe - Ground Zero. Hat jemand eine Idee, wie man diesen Integrationsfaktor findet?

Antworten (4)

Die Gleichung ist trennbar,

2 A 2 j = X ( j − A ) D j D X ,

2 A 2 D X X = j − A j D j ,

2 A 2 Protokoll ⁡ X + C = j − A Protokoll ⁡ j .

Entschuldigung, ich habe die ODE falsch geschrieben, ich werde trotzdem prüfen, ob sie so getrennt werden kann, wie Sie es getan haben

Es ist trennbar

A ( X D j D X + 2 A j ) = X j D j D X
A ( X j ' + 2 A j ) = X j j '
2 A 2 j = X j ' ( j − A )
2 A 2 ∫ D X X = ∫ ( j − A ) j D j

A ( X D j D X + 2 j ) = X j D j D X
A ( X j ' + 2 j ) = X j j '
j ' X ( A − j ) = − 2 A j
Diese letzte Gleichung ist trennbar
∫ A − j j D j = − 2 A ∫ D X X

Entschuldigung, ich habe die ODE falsch geschrieben, ich werde trotzdem prüfen, ob sie so getrennt werden kann, wie Sie es getan haben
@Pascal kein Problem, bearbeite deine Frage
Großartig, ich glaube, ich habe zu viel nachgedacht und bin mir mit diesem einen Schritt voraus. Vielen Dank für Ihre Klarheit und Arbeit.
Ich habe einige Zeilen @Pascal hinzugefügt

Ausgehend von Ishams Antwort (extrahieren j ' aus der Gleichung

∫ A − j j D j = − 2 A ∫ D X X
das heißt
A Protokoll ⁡ ( j ) − j = − 2 A Protokoll ⁡ ( X ) + C
aus denen
j = − A W ( − e C A A X 2 )
wo Lambert-Funktion erscheint.

A ( X D j D X + 2 j ) = X j D j D X
wir können einen gemeinsamen Faktor von sehen X D j D X so können wir erhalten:
X D j D X ( j − A ) = 2 j A
So:
∫ j − A 2 j A D j = ∫ 1 X D X
So:
2 ln ⁡ | X | = ∫ ( 1 A − 1 j ) D j
2 ln ⁡ | X | = j A − ln ⁡ | j | + C
X 2 j = e j A + C
X = j − 1 e j + C 1 A
und dies kann dann zum Lösen der Lambert W-Funktion verwendet werden: https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function

Lösen der nicht exakten Differentialgleichung
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