Analysis und der Zwischenwertsatz

Die Behauptung „es gibt welche$k\in(a,b)$so dass$f(k)=s$“ ist stärker als die Behauptung „es gibt welche$k\in[a,b]$so dass$f(k)=s$“. Warum sollten wir also eine schwächere Aussage machen, wenn wir eine stärkere genauso einfach beweisen können?

Und wenn Sie an die Aussage „wenn$f(a)\leqslant s\leqslant f(b)$, dann gibt es einige$k\in[a,b]$so dass$f(k)=x$“, dann ist diese Aussage trivial, wenn$s=f(a)$(Nimm einfach$k=a$dann) oder wenn$s=f(b)$(Nimm einfach$k=b$Dann). Der nicht triviale Teil ist also, wann$f(a)<s<f(b)$.

Für Ihre erste Frage könnte sich die Aussage auf das geschlossene Intervall beziehen (nicht "sollte")$[a,b]$aber wenn$s=f(a)$oder$s=f(b)$können wir natürlich nehmen$k=a$oder$k=b$und dieser Teil erfordert überhaupt keine Stetigkeitsannahme. Der „interessante“ Teil des Satzes, der die Kontinuitätsannahme erfordert, handelt also von an$s$was nicht gleich ist$f(a)$oder$f(b)$, und folglich brauchen wir die Endpunkte nicht$a,b$mehr.

Beachten Sie bei Ihrer zweiten Frage, dass "$s$muss kleiner als beide sein$f(a)$Und$f(b)$" ist eine falsche Formulierung. Was wir verlangen$s$ist, dass es sich um einen "Zwischenwert" handelt. Stellen Sie sich einen Zwischenwert als eine Zahl "zwischen" vor$f(a)$Und$f(b)$. Mit anderen Worten, wenn$f(a)<f(b)$dann für$s$zwischen ihnen zu sein bedeutet$f(a)<s<f(b)$, und wenn$f(b)>f(a)$dann für$s$zwischen ihnen zu sein bedeutet$f(b)<s<f(a)$. Beachten Sie, dass wenn$f(a)=f(b)$der Satz sagt nichts aus - davon müssen Sie ausgehen$f(a)\neq f(b)$um richtige Zwischenwerte zu bekommen.