Ausdrücken von erfi mit "regulären" Funktionen (ODE)

Ich habe eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung erhalten, die geschrieben werden kann als X ' ( T ) + P ( T ) X ( T ) = Q ( T ) . Die angegebene allgemeine Lösungsformel lautet: X ( T ) = e − P ( T ) ∫ e P ( T ) ⋅ Q ( T ) D T + C e − P ( T ) wobei C unsere Konstante ist. Insbesondere habe ich die DE gegeben X ' ( T ) + 2 T X ( T ) = 2 T 2 und ich wurde gefragt, ob es möglich ist, die allgemeine Lösungsformel (oben angegeben) zu verwenden, um eine Lösung für die DE zu finden, die nur "reguläre/gewöhnliche" Funktionen enthält. Ich weiß, dass ich eine erfi-Funktion bekomme, aber der Punkt der Frage ist zu fragen, ob es möglich ist, die Lösung auf andere Weise zu schreiben. Ist das möglich? Wenn ja, wie würde ich vorgehen?

Bisher habe ich versucht herauszufinden, ob ich die Ableitung der erfi-Lösung verwenden könnte, um die Lösung mit regulären Funktionen auszudrücken.

Was sind "reguläre/normale" Funktionen? Meinst du elementare Funktionen?
Vielleicht finden Sie unter mathworld.wolfram.com/Erfi.html Serienerweiterungen.

Antworten (1)

Will man Sonderfunktionen vermeiden, könnte die Serienerweiterung der einzige Weg sein.

Betrachten Sie die Gleichung

X ' + 2 T X = 2 T 2
und verwenden
X = ∑ N = 0 ∞ A N T N
Dies würde geben
∑ N = 0 ∞ N A N T N − 1 + 2 ∑ N = 0 ∞ A N T N + 1 = 2 T 2
Vergleicht man die Kräfte, würde dies ergeben A 1 = 0 Und A 2 = − A 0 . Jetzt für ein Studium M > 2
( M + 1 ) A M + 1 T M + 2 A M − 1 T M = 0 ⟹ A M + 1 = − 2 A M − 1 M + 1

Jetzt denke ich, dass das OP vielleicht gebeten wird, die Reihe direkt aus dem Integral abzuleiten
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