Warum funktioniert die Shortcut-Methode zur Überprüfung der Differenzierbarkeit hier nicht?

Ich hatte vor einigen Monaten aus einem bestimmten Buch von der Abkürzungsmethode zur Überprüfung der Differenzierbarkeit erfahren.

Ich veranschauliche die hier erlernte Shortcut-Methode anhand eines Beispiels:

Ist$|x-1/9|^3$differenzierbar bei$x=1/9$

Für$x>1/9$ $f(x)=(x-1/9)^3$Differenziere bzgl. x und setze$x=1/9$.Angenommen, der Wert der Ableitung ist$a$.

Für$x<1/9$ $f(x)=-(x-1/9)^3$Differenziere bzgl. x und setze$x=1/9$.Angenommen, der Wert der Ableitung ist$b$.

Wenn$a=b$dann ist sie in differenzierbar$x=1/9$

Diese Methode funktioniert, weil$f(x)$ist stetig bei$x=1/9$

Aber vor kurzem bin ich auf eine Funktion gestoßen wie:

$f(x)= \begin{cases} 0 & x= 0 \\ 2x+x^2\sin(\frac{1}{x}) &x \neq0 \end{cases}$

Wenngleich$f(x)$ist stetig bei$x=0$Die Shortcut-Methode scheint hier nicht zu funktionieren.

Für$x>0$ $f'(x)=2+2x\sin(\frac{1}{x})+x^2\cos(\frac{1}{x})(\frac{-1}{x^2})$.

Aber hier, wenn ich lege$x=0$,$f'(x)$wird undefiniert.

Wenn ich jedoch die Grenzdefinition des Derivats verwende, erhalte ich den Wert des Derivats$x=0$als$2$.

Warum ist die Shortcut-Methode hier nicht gültig? Auf der anderen Seite, warum ist die Grenzwertdefinition der Ableitung gültig und funktioniert? Ist die Ableitung von$f(x)$wirklich existieren$x=0$?