Problem mit der Definition des unbestimmten Integrals

In dem Buch Thomas' Calculus wird das unbestimmte Integral wie folgt definiert:

wir haben das unbestimmte Integral der Funktion ƒ bezüglich x als die Menge aller Stammfunktionen von ƒ definiert, symbolisiert durch ∫ ƒ ( X ) D X . Da sich zwei beliebige Stammfunktionen von ƒ durch eine Konstante unterscheiden, das unbestimmte Integral ∫ Notation bedeutet, dass für jede Stammfunktion F von ƒ ,

∫ F ( X ) D X = F ( X ) + C

Dies impliziert direkt, dass:

(1) D j D X = F ( X ) ⟹ j ( X ) = ∫ F ( X ) D X = F ( X ) + C

In dem Buch Differential Equations With Applications and Historical Notes bemerkt Simmons jedoch :

Wir lösen es, indem wir schreiben:

(2) j ( X ) = ∫ F ( X ) D X + C

Das „es“ bezieht sich auf die Differentialgleichung in (1).

Frage: Ist das nicht C überflüssig? Da das unbestimmte Integral bereits die Sammlung der Stammfunktionen enthält, würde man meinen, dass dies der Fall wäre, aber aus dem ersten Fundamentalsatz der Analysis erhalten wir:

(3) ∫ A X F ( T ) D T = ∫ F ( X ) D X

und durch Einsetzen von (3) in (1),

(4) j ( X ) = ∫ A X F ( T ) D T = F ( X ) − F ( A )

Und jetzt, indem wir (1) und (4) vergleichen, kommen wir zu dem Schluss, dass: F ( X ) + C = F ( X ) − F ( A ) , was natürlich False sein muss, da a fest ist, aber C eine beliebige Konstante ist. Die einzige Möglichkeit, es auszugleichen, besteht darin, eine weitere willkürliche Konstante hinzuzufügen: F ( X ) + C = F ( X ) − F ( A ) + C 1 . Aber um dies zu erreichen, müssen wir die hinzufügen C 1 T Ö ∫ F ( X ) D X in (1) und bestätigt damit die Gültigkeit von (2). Also die C in (2) erscheint wieder notwendig.

Wie löst man diesen Widerspruch?

Warum vergleichst du Gleichungen aus zwei verschiedenen Büchern, beide sagen dasselbe, aber auf unterschiedliche Weise
@LalitTolani Während sie über die Lösungen derselben Differentialgleichung sprechen, liefern die beiden Ansätze unterschiedliche Ergebnisse, und das ist ein Problem.

Antworten (1)

Vorsicht, alles, was der zweite fundamentale Satz sagt, ist das

∫ A X F ( T ) D T
ist eine Stammfunktion für F ( X ) . Das ist nicht dasselbe wie das zu sagen
∫ A X F ( T ) D T = ∫ F ( X ) D X
was nicht wahr ist. Was Sie schreiben können, ist
∫ F ( X ) D X = ∫ A X F ( T ) D T + C .
Auf jeden Fall, ja, es wird allgemein als überflüssig angesehen, zu schreiben
∫ F ( X ) D X + C ,
aber Sie täten gut daran, noch einmal zu überprüfen, wie Simmons definiert
∫ F ( X ) D X .
Ich würde mich wundern, wenn ihre Definition vom Standard abweicht, also kann es sein, dass das Schreiben der + C ist nur ihre Art sicherzustellen, dass sich der Leser an die Notwendigkeit einer willkürlichen Konstante erinnert. Schriftlich ist sicher nichts falsch
∫ F ( X ) D X + C
weil, wie Sie darauf hingewiesen haben, wenn F ( X ) ist eine Stammfunktion von F ( X ) Dann
∫ F ( X ) D X = F ( X ) + C ,
und da die Summe zweier beliebiger Konstanten wieder eine beliebige Konstante ist, ist es immer noch gültig zu schreiben
∫ F ( X ) D X + C .

Seit ∫ A X F ( T ) D T ist eine Funktion von X , halten j ( X ) = ∫ A X F ( T ) D T und benutze (1). Dies wird das beweisen ∫ A X F ( T ) D T = ∫ F ( X ) D X
Entschuldigung, ich wollte schreiben und bezog mich tatsächlich auf den ersten Satz, und ich habe den Beitrag korrigiert
Problem mit der Definition des unbestimmten Integrals
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