Helfen Sie mit, zu verstehen, was uns der fundamentale Satz der Analysis sagt

Sie haben die FTC nur vage angegeben, ohne die entsprechenden Annahmen zu treffen.

( Erster Grundsatz der Infinitesimalrechnung. ) Let${[a,b]}$ein kompaktes Intervall positiver Länge sein. Lassen${f: [a,b] \rightarrow {\bf C}}$eine stetige Funktion sein und lassen${F: [a,b] \rightarrow {\bf C}}$sei das unbestimmte Integral${F(x) := \int_a^x f(t)\ dt}$. Dann${F}$differenzierbar ist${[a,b]}$, mit Ableitung${F'(x) = f(x)}$für alle${x \in [a,b]}$. Insbesondere,${F}$ist stetig differenzierbar.

( Zweiter fundamentaler Satz der Infinitesimalrechnung. ) Let${F: [a,b] \rightarrow {\bf R}}$eine differenzierbare Funktion sein, so dass${F'}$ist Riemann-integrierbar. Dann das Riemannsche Integral${\int_a^b F'(x)\ dx}$von${F'}$ist gleich${F(b) - F(a)}$. Insbesondere haben wir${\int_a^b F'(x)\ dx = F(b)-F(a)}$wann immer${F}$ist stetig differenzierbar.

Diese beiden Versionen sind nicht identisch. Die erste sagt Ihnen, dass jede stetige Funktion eine "Stammfunktion" hat. Die zweite sagt etwas über das bestimmte Integral der Ableitung einer differenzierbaren Funktion aus. Beachten Sie außerdem, dass diese beiden Theoreme unterschiedliche Annahmen haben .

Beachten Sie auch, dass die Differenzierbarkeit von$F$ist in der Schlussfolgerung von (I), aber die Annahme in (II).

Anmerkung.

In einem fortgeschritteneren Realanalysekurs werden Sie sehen, dass die beiden Versionen von FTC immer noch mit viel schwächeren Annahmen gelten (mit geringen Kosten, die man nur hat$F'(x)=f(x)$für fast alle$x\in[a,b]$am Ende von FTC I). Andererseits sind die Beweise der beiden Versionen ziemlich unterschiedlich. Siehe zum Beispiel diese Reihe exzellenter Vorlesungsnotizen von Terry Tao.

Integrale definieren$\int_{[a,b]} f(t)\>dt$als Grenzen von Riemann-Summen in Ihrer bevorzugten Weise. Die beiden Versionen der FTC beziehen solche Integrale auf den Begriff der Ableitung, was wie ein Wunder wirkt. Die beiden Formeln lauten:

Natürlich muss man beide Versionen beweisen, aber für einen dieser Beweise genügt es, hart zu arbeiten, und der andere ist dann eine leichte Konsequenz. Normalerweise beginnt man mit$(1)$, man könnte aber auch damit anfangen$(2)$.