(Uneinigkeit unter seriösen Benutzern) Unbestimmtes Integral vs. Bestimmtes Integral vs. Stammfunktion

Eric Towers und Greg Martin stimmen darin überein, was ein "bestimmtes" Integral ist. Es bezieht sich auf ein Symbol der Form

Wo Eric Towers und Greg Martin sich nicht einig sind, liegt in der Verwendung des Ausdrucks „unbestimmtes Integral“. Wo ist die Meinungsverschiedenheit? Nun, es gibt einen Unterschied, ob man über eine Funktion spricht$F$so dass$F'=f,$und sprechen über eine Reihe von Funktionen$\{F:F'=f\}.$Jedes Element dieser Menge kann in die Form geschrieben werden$F+C,$Wo$C$ist eine Konstante: eine reelle Zahl im Fall von Kalkül. Eric Martin sagt, dass sich "Stammfunktion" auf das erste mathematische Objekt bezieht. Greg Martin stimmt zu. Aber Eric Towers sagt auch, dass sich "unbestimmtes Integral" auch auf das erste mathematische Objekt bezieht und daher synonym mit "Stammfunktion" ist, während Greg Martin sagt, dass sich "unbestimmtes Integral" eigentlich nicht auf das erste Objekt bezieht, sondern auf das zweite Objekt : die Menge der Funktionen mit der oben genannten Eigenschaft.

Dies ist eine eher belanglose Meinungsverschiedenheit, die letztendlich auf die Semantik hinausläuft. "Unbestimmtes Integral" ist nicht einmal eine legitime mathematische Terminologie. Dies bedeutet, dass, obwohl es sich um eine Terminologie handelt, die häufig im Curriculum für Mathematik im Grundstudium verwendet wird, Sie sie niemals in wissenschaftlichen Ressourcen verwenden werden, die von Mathematikern für die mathematische Forschung veröffentlicht werden. Sie sehen es nur von pädagogischen Ressourcen verwendet. Es ist keine Terminologie mit konsensbasierter Bedeutung und unter Mathematikern kein Standard. Beides ist kein „bestimmtes Integral“, wie ich bereits betont habe. Mathematiker sprechen nicht von bestimmten Integralen und unbestimmten Integralen. Sie sprechen von Stammfunktionen, und dann sprechen sie von Riemannschen Integralen, Lebesgueschen Integralen, oder andere Arten von Integralen, die im Rahmen der reellen Analysis und der Maßtheorie streng definiert sind. Dies alles nur, um zu sagen, dass es für keines dieser Labels eine allgemein akzeptierte Definition gibt, da es sich nicht um Labels handelt, die außerhalb dieses sehr spezifischen Kontexts der Infinitesimalrechnung verwendet werden. Wenn Sie von nun an besonders klar sein und Zweideutigkeiten vermeiden möchten, sprechen Sie einfach von Stammfunktionen und geben Sie bei Bedarf entweder eine Stammfunktion an oder sprechen Sie ansonsten über die Menge der Stammfunktionen, um maximale Klarheit zu erhalten. Ich würde davon absehen, eine solche klassenspezifische Terminologie zu verwenden, wenn Sie mit Menschen auf höheren Mathematikniveaus sprechen. da es sich nicht um Bezeichnungen handelt, die außerhalb dieses sehr spezifischen Kontexts der Infinitesimalrechnung verwendet werden. Wenn Sie von nun an besonders klar sein und Zweideutigkeiten vermeiden möchten, sprechen Sie einfach von Stammfunktionen und geben Sie bei Bedarf entweder eine Stammfunktion an oder sprechen Sie ansonsten über die Menge der Stammfunktionen, um maximale Klarheit zu erhalten. Ich würde davon absehen, eine solche klassenspezifische Terminologie zu verwenden, wenn Sie mit Menschen auf höheren Mathematikniveaus sprechen. da es sich nicht um Bezeichnungen handelt, die außerhalb dieses sehr spezifischen Kontexts der Infinitesimalrechnung verwendet werden. Wenn Sie von nun an besonders klar sein und Zweideutigkeiten vermeiden möchten, sprechen Sie einfach von Stammfunktionen und geben Sie bei Bedarf entweder eine Stammfunktion an oder sprechen Sie ansonsten über die Menge der Stammfunktionen, um maximale Klarheit zu erhalten. Ich würde davon absehen, eine solche klassenspezifische Terminologie zu verwenden, wenn Sie mit Menschen auf höheren Mathematikniveaus sprechen.

Es gibt eine Meinungsverschiedenheit zwischen den beiden, also missverstehen Sie sie nicht, und deshalb muss ich Greg Martin in diesem Punkt zustimmen. Wenn uns diese Begriffe beigebracht werden, haben wir wahrscheinlich den Kontext vergessen, in dem unser Lehrer/Professor sie speziell verwendet hat, und so wird alles zu einem Synonym dafür, wie wir über diese Dinge denken, aber es gibt einen Unterschied. Zur einfachen Identifizierung hat ein Integral das große$\int$während die Stammfunktion die Lösung dafür ist. Also zum Ausdruck

Warum ist das überhaupt wichtig? Präzise Sprache, schätze ich. Aber auch der Unterschied zwischen den beiden Dingen (ein Integral ist die Fläche unter einer Kurve und eine Stammfunktion ist ... eine Stammfunktion) ist auch der Grund, warum der Fundamentalsatz der Analysis überhaupt von Bedeutung ist. Wenn die beiden per Definition Synonyme wären, dann sagt dieser Satz nichts aus; aber es tut, weil sie anders sind.

Die Menschen sind mit unterschiedlicher mathematischer Literatur aufgewachsen. Es ist üblich, dass Menschen unterschiedliche Wörter für denselben Begriff verwenden oder dasselbe Wort verwenden, aber unterschiedliche Dinge meinen. Welche Version zu verwenden ist, hängt hauptsächlich vom eigenen Geschmack und vom Kontext ab; es gibt wirklich keine pauschale vereinbarung. Wann immer Zweifel an einem Begriff bestehen, sollte man sich seine Definition ansehen.

Unbestimmte Integrale vs. Stammfunktionen

Schauen wir uns zwei Beispiele für Referenzen in Analysis an.

• Differential- und Integralrechnung Bd. 1 von Richard Courant
• Calculus (8. Auflage) von James Stewart

In Courant,

... Dementsprechend schreiben wir

$$\int_a^x f(u)\;du=\Phi(x)$$ Wir nennen diese Funktion$\Phi(x)$ein unbestimmtes Integral der Funktion$f(x)$.

... Eine Funktion$F(x)$so dass$F^{\prime}(x)=f(x)$heißt primitive Funktion von$f(x)$, oder einfach ein Primitiv von$f(x) ;$Diese Terminologie legt nahe, dass die Funktion$f(x)$ergibt sich aus$F(x)$durch Differenzierung.

Bei Steward,

... Eine Funktion$F$heißt Stammfunktion von$f$in einem Intervall$I$Wenn$F^{\prime}(x)=f(x)$für alle$x$In$I$.

... die Notation$\int f(x) d x$wird traditionell für eine Stammfunktion von verwendet$f$und heißt unbestimmtes Integral . Daher

$$\int f(x) d x=F(x) \quad \text { means } \quad F^{\prime}(x)=f(x)$$

Offensichtlich haben diese beiden Autoren unterschiedliche Definitionen für "unbestimmtes Integral".

Bei Stewart wird "unbestimmtes Integral" als Synonym zum Begriff "Stammfunktion" in seinem Buch definiert; dies entspricht Courants "Primitiv", das im Wesentlichen eine Lösung einer Differentialgleichung ist.

Bei Courant bedeutet der Begriff "unbestimmtes Integral" die Karte$x\mapsto \int_a^x f(u)\;du\;.$

Bestimmte Integrale

Es besteht kein Zweifel an der Bedeutung von$\int_a^b f(x)dx$wenn es sich auf ein Riemann-Integral bezieht, dh "bestimmtes Integral" in der Analysis. Was Sie sich vielleicht fragen, wie Ihre dritte Frage zeigt, ist, ob man anrufen sollte

Dies ist vergleichbar mit der Frage, ob man behandelt "$\cos(x)$" als Zahl oder als Funktion. Um es genau zu machen, sollte man sagen

für jeden Wert von$x$,$\int_a^x f(u)\;du$ist ein "bestimmtes Integral";

oder

die Karte$x\mapsto \int_a^x f(u)\;du$ist ein "unbestimmtes Integral" im Sinne von Courant.

Eine andere mögliche Meinungsverschiedenheit ist, dass wir sagen können

Die folgende Aussage von Greg Martin ist richtig.

"Stammfunktion" und "unbestimmtes Integral" sind keine Synonyme.

Sie sind keine Synonyme. Wenn wir eine Menge haben, die die Funktionen enthält, die beim Differenzieren ergibt$\cos x$, dann sind die Elemente dieser Menge vom Typ$(\sin x+3),(\sin x+5)\cdots$usw. Diese vollständige Menge wird als unbestimmtes Integral von bezeichnet$\cos x$und jedes seiner Elemente wird Stammfunktion von genannt$\cos x$, wird diese Menge natürlich unendliche Elemente haben, dh unendliche Stammfunktionen von$\cos x$und alle werden unter einem einzigen Namen als unbestimmtes Integral von bezeichnet$\cos x$, Daher bezeichnet unbestimmtes Integral eine Menge und Stammfunktionen sind Elemente dieser Menge. Alle Stammfunktionen (oder Elemente der Menge) unterscheiden sich durch eine Konstante und ihre Familie heißt unbestimmtes Integral.

Daher können wir Ihre folgende Frage jetzt leicht beantworten:

@EricTowers Selbst wenn die Konstante angegeben ist (z. B. c = 3), wird sin (x) + 3 immer noch als unbestimmtes Integral von cos (x) bezeichnet? – versuchen, bestialisch zu sein

NEIN$\sin x +3$wird nicht als unbestimmtes Integral von bezeichnet$\cos x$vielmehr wird es Stammfunktion von genannt$\cos x$. Ebenso alle Funktionen vom Typ$\sin x+C$heißt Stammfunktion von$\cos x$und ihre Familie/Menge heißt unbestimmtes Integral von$\cos x$

Mit anderen Worten, ein unbestimmtes Integral ergibt eine Familie von Funktionen, während Stammfunktionen die Mitglieder dieser Familie sind, die sich alle nur durch eine Konstante unterscheiden.

Wenn Sie ein Antiderivativ finden möchten$F_0$einer Funktion$f$, die stetig ist, dann können Sie den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung verwenden.

Variieren Sie jetzt weiter die untere Grenze und Sie werden immer andere Stammfunktionen erhalten. Zusammen kann man sie unbestimmte Funktionsintegrale nennen$f$