Wie falsch ist es? - Ein "Beweis" der FTC, den ich mir in der High School per Handwinken ausgedacht habe.

Ihr Argument kann in einen korrekten Beweis umgewandelt werden, wenn wir annehmen dürfen, dass die Konvergenz

$$\lim_{h\to0}{F(x+h)-F(x)\over h}=f(x)$$ ist einheitlich _ $x$. Das bedeutet, dass ggf $\epsilon>0$, da ist ein $\delta>0$so dass $$\left|{F(x+h)-F(x)\over h}-f(x)\right|<\epsilon\qquad(a\leq x\leq b, \ 0<h<\delta)\ .$$ Wenn dies der Fall ist, haben wir $$f(x) h-\epsilon h\leq F(x+h)-F(x)=f(x)h + \epsilon h\qquad(a\leq x\leq b, \ 0<h<\delta)\ .\tag{1}$$ Wir wählen jetzt $N$so groß das $h:={b-a\over N}<\delta$und das gleichzeitig $\sum_{i=1}^N f(x_i) h$ist drinnen $\epsilon$aus $\int_a^b f(x)\ dx$. Dann $(1)$impliziert (Teleskopsumme beachten!) $$\sum_{i=1}^N f(x_i) h-\epsilon(b-a)\leq F(b)-F(a)\leq \sum_{i=1}^N f(x_i) h+\epsilon(b-a)\ ,$$ so dass $$\left|\int_a^b f(x)\ dx-\bigl(F(b)-F(a)\bigr)\right|\leq\bigl(1+b-a\bigr)\epsilon\ .$$ Als $\epsilon>0$beliebig war folgt die gewünschte Formel.