Sagt uns der Fundamentalsatz der Analysis, dass Integration das „Gegenteil“ von Differentiation ist?

Ich habe oft gelesen, dass der Fundamentalsatz der Analysis (FTC) uns sagt, dass Integration das Gegenteil von Differentiation ist. Ich fand diese Zusammenfassung immer verwirrend, also werde ich darlegen, was die Leute meiner Meinung nach meinen, wenn sie eine solche Aussage machen.

Die erste FTC impliziert die Existenz von Stammfunktionen für jede Funktion, F , die in einem bestimmten Intervall kontinuierlich ist, sagen wir [ A , B ] . Allgemein bezeichnen wir diese Stammfunktion als F . Differenzieren F kehrt zu unserer ursprünglichen Funktion zurück, F . Wenn also Leute sagen, „Integration ist das Gegenteil von Differentiation“, meinen sie damit, dass eine Stammfunktion einer Funktion unter Verwendung eines bestimmten Integrals berechnet werden kann.

Die Zweite FTC ist leistungsfähiger als die Erste FTC, da sie uns sagt, dass bestimmte Integrale unter Verwendung der Stammfunktion einer Funktion berechnet werden können (was im Allgemeinen nützlicher ist, als zu wissen, dass eine mögliche Stammfunktion von F kann mit einem bestimmten Integral berechnet werden, F ). Für die Zweite FTC verstehe ich überhaupt nicht, wie das damit zusammenhängt, dass "Integration das Gegenteil von Differenzierung ist". Die zweite FTC zeigt uns die Verbindung zwischen Stammfunktionen (unbestimmten Integralen) und bestimmten Integralen. Es ist äußerst nützlich, um zu versuchen, die Fläche unter einer Kurve zu finden, aber ich bin mir nicht sicher, wie dies damit zusammenhängt, dass Integration und Differenzierung "Gegensätze" sind.

Gibt es etwas an der ersten FTC oder der zweiten FTC, das eine größere Auswirkung darauf hat, dass Integration das Gegenteil von Differenzierung ist, oder ist mein Verständnis richtig?

Lassen D D X sei der Ableitungsoperator und sei ICH Sei der Operator, der eine stetige Funktion annimmt F als Eingabe und gibt die Funktion zurück G ( X ) = ∫ A X F ( T ) D T als Ausgabe. Das sagt uns der erste Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung D D X ∘ ICH ist der Identitätsoperator. Grob gesagt lässt uns die Integration gefolgt von der Differenzierung dort zurück, wo wir angefangen haben.
Sehen Sie sich auch die zugehörigen Fragen in der rechten Spalte auf der Webseite (Desktop!) an. Einige könnten für Sie interessant sein.
@littleO Danke. Das macht sehr viel Sinn. Eine Sache, die mich immer (nur ein bisschen) gestört hat, ist, dass wir anscheinend mit einer Funktion beginnen F ( T ) und enden mit F ( X ) . Ich versuche es zu erklären, indem ich sage: "Es spielt keine Rolle, welchen Buchstaben wir verwenden, da wir immer noch dieselbe Regel anwenden", aber ich frage mich, ob Sie eine bessere Erklärung haben.
@Joe Vielleicht hätte ich den Ableitungsoperator benennen sollen D und das gesagt D ∘ ICH ist der Identitätsoperator. Mit anderen Worten, wenn F ist dann eine stetige Funktion D ( ICH ( F ) ) = F .

Antworten (1)

Ich denke, die erste FTC:

Wenn F : [ A , B ] → R ist dann stetig F : [ A , B ] → R definiert von F ( X ) = ∫ A X F ( T ) D T ist differenzierbar und F ' ( X ) = F ( X ) für alle X ∈ [ A , B ] .

meinen die Leute, wenn sie sagen, die Integration (die definiert F ) ist die Umkehrung der Differentiation (da wir eine Funktion mit Ableitung gefunden haben F ).

Die zweite FTC

Wenn F : [ A , B ] → R ist Riemann-integrierbar auf [ A , B ] und wir haben eine Funktion F : [ A , B ] → R so dass F ' ( X ) = F ( X ) An [ A , B ] , Dann ∫ A B F ( X ) D X = F ( B ) − F ( A ) .

ist eher ein "Rezept", um ein Integral zu finden: Das Ziel ist es, das bestimmte Integral zu berechnen, und das Werkzeug, das uns gegeben wird, ist, eine Stammfunktion zu finden. Also keine Inverse als solche, sondern eine Methode . Es ist ein bisschen zweifelhaft, als Stammfunktion F muss überhaupt nicht existieren (außer wenn F ist kontinuierlich und die erste FTC gibt uns eine, aber nicht explizit, aber zumindest wissen wir, dass eine Lösung existiert, aber wir haben sie noch nicht in berechenbarer Form). Ich denke, der erste ist näher dran, eine direkte "umgekehrte" Verbindung zwischen Integration und Differentiation herzustellen (und wird oft in anderen Kontexten verwendet, wenn wir bzgl. Grenzen von Integralen usw. differenzieren). Aber das ist nur eine Ansicht.

Die erste FTC kann zusammengefasst werden als

D D X ∫ A X F ( T ) D T = F ( X )
also "Anwenden des Integrationsoperators auf F , gefolgt vom Differenzierungsoperator, gibt uns zurück F nochmal".

@Henro Brandsma Danke, das war eine sehr klare Antwort. Ich habe dies in einem anderen Kommentar gefragt, aber ich habe mich gefragt, ob Sie etwas Licht ins Dunkel bringen könnten: Eine Sache, die mich immer (nur ein bisschen) gestört hat, ist, dass wir anscheinend mit einer Funktion beginnen F ( T ) und enden mit F ( X ) . Ich versuche es zu erklären, indem ich sage: "Es spielt keine Rolle, welchen Buchstaben wir verwenden, da wir immer noch dieselbe Regel anwenden", aber ich habe mich gefragt, ob Sie eine bessere Erklärung haben.
X ist die primäre Variable für die Differenzierung (in der Analysis; in der Physik die Differenzierung zu einer Zeitvariablen T (Geschwindigkeit, Beschleunigung) ist üblich) in dem funktioniert weiter R sind standardmäßig F ( X ) . Aber wir brauchen auch eine Variable, um "mitzuintegrieren", dh das bestimmte Integral braucht a F ( X ) D X In diesem Fall. Aber FTC-1 brauchen wir X als Grenze, um eine Funktion zu definieren, also hätten wir verwenden können j D j aber das deutet auf eine zweite Dimension und ein zweidimensionales Integral hin, also verwenden wir eine andere "lineare" Variable T D T (wie gesagt, aus Anwendungen bekannt, und Kurven sind oft so parametrisiert).
@Henro Brandsma Ich verstehe. Und gibt es einen Unterschied zw F ( X ) Und F ( T ) ? Ich denke, es gibt nicht, weil X Und T sind nur Variablen, und es spielt keine Rolle. Was zählt, ist, dass Sie zu Ihrer ursprünglichen Funktion zurückkehren, F , die dieselbe Domäne, Codomäne und denselben Bereich wie zuvor hat.
@ Joe Nein, es gibt keinen Unterschied. Aber es kommt auf die klare Darstellung an und was der Leser erwartet.
Vielen Dank. Ich denke, Sie haben alle meine Fragen beantwortet, und deshalb werde ich diese Antwort akzeptieren.
@Joe Um es ganz kurz zu machen, kann diese FTC1-Identität geschrieben werden als D D X ∫ A X F = F ( X ) , Das Verständnis ist, dass die Integrationsvariable (gebundene Variable) nicht sein soll X (freie Variable).
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