Textaufgabe zur Differenzialgleichung Wasseraustritt y=x2y=x2y=x^2

Hier sind zwei Prinzipien am Werk: 1) Das Bernoulli-Prinzip, das dies besagt

Wo$v=dy/dt = \dot{y}$ist die Geschwindigkeit, mit der die Flüssigkeit sinkt, und$y$ist die Höhe der Flüssigkeit. Auch,$g$ist die Erdbeschleunigung$\approx 9.8 \text{m}/\text{sec}^2$.$v(0)$ist die Geschwindigkeit der Flüssigkeit, die das Loch am Boden verlässt.

2)$A(y) v(y) = B v(0)$- dies ist eine Aussage, dass die aus dem Behälter austretende Flüssigkeitsmenge überall gleichmäßig ist - eine Art Erhaltungsprinzip. Damit erhalten wir jederzeit eine Differenzialgleichung für die Höhe der Flüssigkeit:

Beachten Sie, dass ich die Tatsache verwendet habe, dass der Bereich der Flüssigkeit$A(y)$in der Höhe$y$Ist$\pi y$für diesen Behälter.

Im Prinzip haben wir eine einfache ODE, die durch ein Integral über ausgedrückt werden kann$y$; Das Integral ist jedoch ziemlich schrecklich (ich bekomme elliptische Integrale über imaginäre Argumente). Trotzdem können wir die Tatsache ausnutzen, dass die Fläche des Lochs am Boden sehr klein ist, so dass die Fläche der Flüssigkeit über dem Loch zu jedem Zeitpunkt viel größer ist als$B$. Wir können daher die vernachlässigen$1$im Nenner und erhalte das ungefähre DE:

Wir wählen das negative Vorzeichen, weil$y$nimmt ab. Die Lösung dieser Gleichung nimmt die Form an

Sie können dann die ungefähre Zeit finden, zu der der Behälter leer ist, indem Sie den obigen Wert auf Null setzen.

Wenn$V$ist dann das Wasservolumen im Tank$\frac{dV}{dt} = -B$. Beachten Sie das$V=\int_{0}^{2 \pi} d\phi \int_0^{\sqrt y} r^2 r dr$. Integrieren Sie letzteres und ersetzen Sie das Ergebnis durch ersteres, um eine ODE für zu erhalten$\frac{dy}{dt}$. Lösen Sie es mit$y(0) = 1$Und$y(t) = 0$das Gewünschte zu finden$t$.