Energiefunktion des Pendels

Ich folge G. Teschls Buch für ODE und dynamische Systeme und in Aufgabe 6.26 werde ich gebeten, die Energiefunktion des mathematischen Pendels zu finden$\ddot x = -\mu \dot x - sin(x)$.

Das Buch zeigt einen Standardweg (glaube ich), um eine Energiefunktion zu finden, also habe ich versucht, es wie folgt zu emulieren:

Wir verstärken$\ddot x = -\mu \dot x - sin(x)$von$\dot x$und wir bekommen$\ddot x \dot x= -\mu \dot x^{2} - sin(x)\dot x$was geschrieben werden kann als$\frac{d}{dt} \frac{{\dot x}^{2}}{2} = -\mu \dot x^{2} - sin(x)\dot x$. Jetzt werden wir anrufen$- \dot U(x)=-\mu \dot x - sin(x)$, Dann,$\frac{d}{dt} \frac{{\dot x}^{2}}{2} = -\dot U(x) \dot x$was uns zu führt$\frac{d}{dt} (\frac{{\dot x}^{2}}{2} + U(x))=0$. Und dies sollte die Ableitung der Energiefunktion des Doppelpendels darstellen. Jetzt möchte ich zeigen, dass die Energiefunktion als Liapunov-Funktion verwendet werden kann, um die Stabilität zu beweisen$(0,0)$Aber ich konnte das letzte nicht tun, ich konnte es nicht explizit lösen, daher wäre jede Hilfe sehr willkommen.

Vielen Dank Jungs <3