Bedeutet die globale Ljapunow-Stabilität ein einzigartiges Gleichgewicht?

Question

Bedeutet die globale Ljapunow-Stabilität ein einzigartiges Gleichgewicht?

Definition
Mathematik
Stabilitätstheorie
dynamische-systeme
Stabilität-in-Oden
Gewöhnliche Differentialgleichungen

Fraïssé

Erinnern Sie sich daran, dass ein zeitinvariantes dynamisches System gegeben ist

\dot{X} = F (X)

$\dot x = f(x)$

Wir sagen, dass ein Gleichgewichtspunkt am Ursprung, $x_e \in \mathbb{R}^n$ , des obigen Systems ist stabil (im Sinne von Lyapunov), wenn:

\forall ϵ > 0, \exists δ > 0, st “ X (T_{0}) - X_{e} “ < δ ⟹ “ X (T) - X_{e} “ < ϵ, \forall T \geq T_{0}

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{ s.t. } \|x(t_0) - x_e\| < \delta \implies \|x(t) - x_e\|< \epsilon, \forall t \geq t_0$

Angenommen, die obige Bedingung gilt für alle $x_0 = x(t_0) \in \mathbb{R}^n$ , dann können wir sagen, dass der Gleichgewichtspunkt global stabil ist.

Nehme an, dass $x_e$ global stabil ist, dann ist es das einzigartige Gleichgewicht von $\dot x = f(x)$ ?

Beachten Sie, dass globale asymptotische Stabilität Eindeutigkeit impliziert, da jede Trajektorie zu diesem Punkt konvergieren muss.

Sergio Enrique Yarza Acuña

Da ist kein

x_{0}

$x_0$ in der Bedingung, was meinen Sie, wenn Sie sagen, dass es für alle gilt

x_{0} \in R^{n}

$x_0\in\mathbb{R}^n$ ?

Antworten (1)

Bedeutet die globale Ljapunow-Stabilität ein einzigartiges Gleichgewicht?

Da ist kein $x_0$ in der Bedingung, was meinen Sie, wenn Sie sagen, dass es für alle gilt $x_0\in\mathbb{R}^n$ ?

Benutzer357151 · Answer 1

In Betracht ziehen $\dot x =0$ : Jeder Punkt ist ein global stabiles Gleichgewicht.

Für ein weniger lächerliches Beispiel, $\dot x = (-x_1, 0)$ hat eine Linie global stabiler Gleichgewichte.

Was passiert, wenn die Gleichgewichtsmenge nicht zusammenhängend ist? Bedeutet dies Einzigartigkeit?

Bedeutet die globale Ljapunow-Stabilität ein einzigartiges Gleichgewicht?

Fraïssé

Sergio Enrique Yarza Acuña

Antworten (1)

Benutzer357151

Bilal Jafar Karaki

Energiefunktion des Pendels

Anforderung der Lyapunov-Stabilität in der asymptotischen Stabilität

Instabilität eines parametervariierenden Systems, dessen Parameter zu einer kompakten Menge gehören

Definition von Lyapunov-Stabilität

Verwendung der δδ\delta-εε\varepsilon-Definition zum Nachweis der Stabilität für autonome Systeme

Globale Stabilität vs. globale asymptotische Stabilität

Lyapunov-Funktion für nichtlineares System

Eine Euler-Lagrange-Gleichung

Schöne Folgerungen zum Satz von Poincaré-Bendixson

Anwendung des Satzes von Poincaré-Bendixson