Schöne Folgerungen zum Satz von Poincaré-Bendixson

Question

Schöne Folgerungen zum Satz von Poincaré-Bendixson

Mathematik
dynamische-systeme
Gewöhnliche Differentialgleichungen

Seirios

Ich interessiere mich für Anwendungen des Poincaré-Bendixson-Theorems, die nicht (explizit) mit ODEs zusammenhängen.

Lassen $X \in C^1(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2)$ , $(t_0,x_0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2$ Und $x \in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R}^2)$ eine Lösung für die IVP $\begin{cases}x'=X(x) \\ x(t_0)=x_0\end{cases}$

Der $\omega$ -Grenze von $x_0$ (Oder von $x$ ) Ist $\omega(x_0)=\{ y \in \mathbb{R}^2 : \exists (t_n) \ \text{such that} \ t_n \to + \infty, \ x(t_n)\to y \}$ .

Satz (Poincaré-Bendixson)

Wenn $\omega(x_0)$ ist nicht leer, kompakt und enthält keine Null von $X$ , Dann $\omega(x_0)$ ist eine periodische Umlaufbahn.

Einige Konsequenzen:

Satz ( $C^1$ -Version des Fixpunktsatzes von Brouwer in Dimension zwei)

Lassen $f : \overline{D} \to \overline{D}$ sei ein $C^1$ Funktion von der geschlossenen Einheitsscheibe zu sich selbst. Dann $f$ hat einen Fixpunkt.

Satz ( $C^1$ -Version des Hairy-Ball-Theorems in Dimension zwei)

A $C^1$ -Vektorfeld ein $\mathbb{S}^2$ hat eine Null.

Kennen Sie andere Konsequenzen des Satzes von Poincaré-Bendixson, die nichts mit Differentialgleichungen zu tun haben? Kann zum Beispiel der Fundamentalsatz der Algebra so bewiesen werden?

Nichtlinearität

Mich würde interessieren, wie man von Poincare Bendixson zu Hairy Ball Theorem kommt. Haben Sie eine Referenz?

Seirios

@nonlinearism: Ich habe keine Referenz, aber beachte nur, dass der Beweis des Satzes von Poincaré-Bendixson in

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ angepasst werden kann

S^{2}

$\mathbb{S}^2$ ; dann durch die Kompaktheit von

S^{2}

$\mathbb{S}^2$ , beliebig

ω

$\omega$ -limit ist nicht leer, also an

ω

$\omega$ -limit enthält entweder eine Null oder ist ein periodischer Orbit. Der durch eine periodische Umlaufbahn begrenzte Bereich enthält jedoch notwendigerweise eine Nullstelle.

Saragossa

@Seirios Ich interessiere mich auch für Anwendungen des Poincaré-Bendixson-Theorems, die nichts mit ODE zu tun haben. Hast du noch mehr gefunden oder hast du eine Referenz, wo ich sie finden kann? Bitte... Es wäre sehr nützlich für mich. Vielen Dank im Voraus

Antworten (1)

Schöne Folgerungen zum Satz von Poincaré-Bendixson

Mich würde interessieren, wie man von Poincare Bendixson zu Hairy Ball Theorem kommt. Haben Sie eine Referenz?
@nonlinearism: Ich habe keine Referenz, aber beachte nur, dass der Beweis des Satzes von Poincaré-Bendixson in $\mathbb{R}^2$ angepasst werden kann $\mathbb{S}^2$ ; dann durch die Kompaktheit von $\mathbb{S}^2$ , beliebig $\omega$ -limit ist nicht leer, also an $\omega$ -limit enthält entweder eine Null oder ist ein periodischer Orbit. Der durch eine periodische Umlaufbahn begrenzte Bereich enthält jedoch notwendigerweise eine Nullstelle.
@Seirios Ich interessiere mich auch für Anwendungen des Poincaré-Bendixson-Theorems, die nichts mit ODE zu tun haben. Hast du noch mehr gefunden oder hast du eine Referenz, wo ich sie finden kann? Bitte... Es wäre sehr nützlich für mich. Vielen Dank im Voraus

Seirios · Answer 1

Ich beantworte meine zweite Frage und beweise den Fundamentalsatz der Algebra aus dem Satz von Poincaré-Bendixson:

Nehmen Sie durch Widerspruch an, dass es ein Polynom gibt $P \in \mathbb{C}[X]$ so dass $P(z) \neq 0$ für alle $z \in \mathbb{C}$ . Dann die Funktion $z \mapsto 1/P(z)$ definiert ein Vektorfeld $X$ An $\mathbb{C}$ . Offensichtlich gibt es $R>0$ so dass

\frac{1}{| P (z) |} < | z | für alle | z | = R .

$\frac{1}{|P(z)|} < |z| \ \ \text{for all} \ |z|=R.$

Daher, wenn $B$ bezeichnet die geschlossene Kugel mit Radius $R$ zentriert bei $0$ , $X$ definiert ist $B$ und zeigt nach innen auf $\partial B$ : $B$ ist stabil unter dem Fluss von $X$ . Schließlich reicht es aus, den Satz von Poincaré-Bendixson anzuwenden, um einen Grenzzyklus zu finden (durch Kompaktheit, an $\omega$ -limit darf nicht leer sein); aber ein Grenzkreis (als Jordan-Kurve) enthält immer einen Fixpunkt (siehe z. B. hier ), einen Widerspruch (offensichtlich, $X$ ist ein nicht verschwindendes Vektorfeld).

Wie es stimmt, dass alle Vektoren auf $\partial B$ zeigt nach innen??
Wie gesagt, weil $B$ ist stabil unter dem Fluss von $X$ . Wenn irgendein Vektor an ist $\partial B$ nach außen zeigt, dann würde der entsprechende Punkt nach außen gesendet werden $B$ durch die Strömung.

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