Verwirrung um den Satz von Poincaré-Bendixson

Diese beiden Versionen des Satzes von Poincaré-Bendixson widersprechen sich nicht. Stattdessen glaube ich, dass Sie einige der Hypothesen übersehen haben.

Der erste Satz besagt, dass eine positiv invariante, kompakte Teilmenge der Phasenebene immer mindestens eine geschlossene Umlaufbahn enthält, sofern sie keine Fixpunkte enthält (oder sofern sie nur einen instabilen Knoten oder Spiralpunkt in ihrem Inneren hat ) . Während der Beweis dieser Tatsache auf der Topologie von beruht$\mathbb{R}^2$viel, die Idee hinter ihrer Formulierung ist leicht zu verstehen: Wenn eine Trajektorie in einer kompakten Teilmenge der Phasenebene gefangen ist, die keine stabilen Fixpunkte enthält, dann hätte sie nichts anderes zu tun, als sich einem Grenzzyklus anzunähern.

Der zweite Satz stützt sich auf verschiedene Hypothesen:$R$ist immer noch eine positiv invariante, kompakte Teilmenge der Phasenebene, enthält aber jetzt keine periodischen Lösungen mehr. Sie sollten sich also fragen: Wenn eine Lösung für immer darin gefangen ist$R$, und es müssen keine Grenzzyklen angefahren werden, was kann diese Lösung möglicherweise tun? Natürlich in Richtung eines stabilen Gleichgewichtspunkts fließen . In der Tat beantwortet dies Ihre Frage: Es ist möglich, eine Region zu haben$R$Das ist eine positiv invariante, kompakte Teilmenge der Phasenebene ohne periodische Lösungen darin, die immer noch eine endliche Anzahl von Knoten oder Spiralpunkten enthält: Sie brauchen nur einige dieser Fixpunkte, um stabil zu sein .

Beachten Sie auch, dass Ihr Buch nichts über eine positiv invariante, kompakte Teilmenge der Phasenebene sagt, die sowohl frei von Gleichgewichtspunkten als auch von Grenzzyklen ist. Eine solche Region kann nicht existieren, und das ist die Essenz des Poincaré-Bendixson-Theorems: Sobald es Ihnen gelingt, eine Lösung in einer Region wie einzufangen$R$, dann kann es sich nur entweder einem (stabilen) Fixpunkt nähern oder spiralförmig auf einen Grenzzyklus zusteuern.

Es gibt tatsächlich eine dritte Möglichkeit, nämlich die Annäherung an ein komplizierteres Objekt, das als Zyklusgraph bezeichnet wird (der aus einer endlichen Anzahl von Fixpunkten zusammen mit den sie verbindenden Umlaufbahnen besteht). Der Geist des Satzes ändert sich jedoch nicht: Eine beschränkte Lösung darf nicht chaotisch wandern, weil nichts anderes als die Annäherung an einen stabilen Fixpunkt, einen Grenzzyklus oder einen Zyklusgraphen erlaubt ist. Tatsächlich sagt Ihnen das Poincaré-Bendixson-Theorem, dass Chaos in einem zweidimensionalen dynamischen System niemals auftreten kann.