Verwendung der δδ\delta-εε\varepsilon-Definition zum Nachweis der Stabilität für autonome Systeme

Question

Verwendung der δδ\delta-εε\varepsilon-Definition zum Nachweis der Stabilität für autonome Systeme

Mathematik
Epsilon-Delta
Realanalyse
dynamische-systeme
Stabilität-in-Oden
Gewöhnliche Differentialgleichungen

Demerzel

Ich möchte beweisen, dass ein Gleichgewichtspunkt eines einfachen autonomen Systems stabil ist, indem ich die verwende $\delta$ - $\varepsilon$ Definition. Mit „autonomem System“ meine ich ein System, das nicht explizit von der Zeit abhängt, d. $f(t,x)=f(x)$ .

Meine Kriterien für Stabilität (im Sinne von Lyapunov) sind:

\forall ε > 0, \exists δ > 0 : “ X (0) “ < δ ⟹ \forall T \in R_{+} “ X (T) “ < ε

$\forall \varepsilon > 0,\;\exists \delta > 0: \|x(0)\| < \delta \implies \forall t \in \mathbb{R}_+ \; \|x(t)\|<\varepsilon$

Betrachten Sie ein einfaches 1D-System der Form:

\dot{X} = - X + X^{2}

$\dot{x}=-x+x^2$ die zwei Gleichgewichtspunkte hat, nämlich

x_{e, 1} = 0

$x_{e,1}=0$ Und

x_{e, 2} = 1

$x_{e,2}=1$ , durch Lösen

\dot{x} = 0

$\dot{x}=0$ .

Das möchte ich zeigen $x_{e,1}$ ist stabil, indem man a findet $\delta=\delta(\varepsilon)$ was meine Stabilitätskriterien erfüllt. Indem ich das System mit verschiedenen Anfangsbedingungen zeichne, weiß ich das $x_{e,1}$ ist auch attraktiv, aber wo soll ich von hier aus gehen? Wie könnte ich ein Recht finden $\delta(\varepsilon)$ ?

Lutz Lehmann

Diese Stabilitätsdefinition ist in höheren Dimensionen sinnvoller, beispielsweise in 2D mit der euklidischen Metrik und einem ODE-System, das "elliptische" Spiralen zum Gleichgewichtspunkt hat, damit der Radius entlang einer Trajektorie nicht monoton ist, sondern mit fallender Amplitude oszilliert.

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Verwendung der δδ\delta-εε\varepsilon-Definition zum Nachweis der Stabilität für autonome Systeme

Diese Stabilitätsdefinition ist in höheren Dimensionen sinnvoller, beispielsweise in 2D mit der euklidischen Metrik und einem ODE-System, das "elliptische" Spiralen zum Gleichgewichtspunkt hat, damit der Radius entlang einer Trajektorie nicht monoton ist, sondern mit fallender Amplitude oszilliert.

AVK · Answer 1

Die Lösung des Anfangswertproblems

\dot{X} = - X + X^{2}, X (0) = X_{0}

$\dot{x}=-x+x^2,\quad x(0)=x_0$ Ist

X (T) = \frac{1}{1 - (1 - 1 / X_{0}) e^{T}} .

$x(t)=\frac1{1-(1-1/{x_0})e^t}.$ Seine Ableitung ist

\dot{X} (T) = \frac{(1 - 1 / X_{0}) e^{T}}{(1 - (1 - 1 / X_{0}) e^{T})^{2}} .

$\dot x(t)= \frac{(1-1/x_0)e^t}{(1-(1-1/{x_0})e^t)^2}.$ Beachten Sie, dass der Nenner dieses Bruchs nicht gleich Null sein kann, wenn

t \geq 0

$t\geq 0$ .

Lassen $x_0\in(-1,1)\setminus\{0\}$ . Wir haben $1-\frac1{x_0}<0$ Wenn $x_0\in(0,1)$ Und $1-\frac1{x_0}>0$ Wenn $x_0\in(-1,0)$ , daher $\dot x(t)$ ist positiv ( $x(t)$ monoton steigend ist), wenn $x_0\in(-1,0)$ Und $\dot x(t)$ ist negativ ( $x(t)$ monoton fallend ist), wenn $x_0\in(0,1)$ . Da die Lösung des Anfangswertproblems den Gleichgewichtspunkt nicht überschreiten kann $x=0$ , seine Norm $\|x(t)\|$ nimmt für alle monoton ab $t\ge 0$ Und $x_0\in(-1,1)\setminus\{0\}$ . Das bedeutet, dass wir wählen können $\delta(\varepsilon)= \min(\varepsilon,1)$ in der Stabilitätsdefinition.

Verwendung der δδ\delta-εε\varepsilon-Definition zum Nachweis der Stabilität für autonome Systeme

Demerzel

Lutz Lehmann

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