Funktion, deren Steigung auf ihren Niveausätzen von konstanter Norm ist

Ich habe eine Funktion F : R N → R und ich weiß, dass das auf seine ebene setzt F − 1 ( z ) die Norm seines Gradienten ist konstant. Was soll ich zu dieser Funktion sagen?

| | ∇ X F ( X ) | | = konst ∀ X ∈ F − 1 ( z ) := { X ∈ R N : F ( X ) = z } ∀ ∈ R

Verwandte Fragen sind dies und das . Sie betrachten jedoch die Norm des Gradienten als konstant für alle X in der Domäne. Ich weiß, dass dies nur auf jedem Level-Set zutrifft.

Ich bin mir nicht sicher, ob es viel sagen kann. Zum Beispiel, F ( X ) = | X | erfüllt dies als | | ∇ X F ( X ) | | = 1 . Eine weitere Funktion F ( X ) = X 2 erfüllt dies auch - für jeden Levelsatz (dh { A , − A } ) | | ∇ X F ( X ) | | = 2 | X | . Tatsächlich erfüllen diese beiden die Eigenschaft für jeden Levelsatz, während Sie wissen, ob dies nur für einige Levelsätze der Fall ist.
@RahulMadhavan Was wäre, wenn diese Eigenschaft für jeden Levelsatz erfüllt wäre?
@RahulMadhavan Ich habe das folgende Papier gefunden, das verwandt zu sein scheint, aber es ist schwer zu entziffern projecteuclid.org/journals/kodai-mathematical-journal/volume-19/…
Ich habe die Frage so geändert, dass die Funktion auf allen Ebenensätzen einen Gradienten mit konstanter Norm haben muss
Ist F stetig differenzierbar? Wissen Sie, dass es keine kritischen Punkte gibt?
Ich nehme gerne jede Regularitätsbedingung an, wie zum Beispiel stetig differenzierbar und keine kritischen Punkte
Ein Ergebnis, das man sagen könnte, ist, dass die Level-Sets "gleichmäßig" verteilt sind. Das heißt, auf einem Level-Set A = F − 1 ( A ) , Sie sind gleich weit von einem anderen Levelset entfernt B = F − 1 ( B ) egal wo du gerade bist A . Da Sie jedoch entlang jeder Menge nur eine konstante Norm annehmen, kann ich zunächst nur sehen, dass dies in einem "infinitesimalen" nicht exakten Sinne wahr ist, dh als B → A .
Falls es darauf ankommt, macht es einen wesentlichen Unterschied im Ergebnis, ob es kritische Punkte gibt oder nicht, genauso wie es darauf ankommt, ob die Domäne vollständig ist oder nicht R N oder (sagen) R N mit einem Punkt Abzug.
@AndrewD.Hwang Domain wird definitiv alle sein R N !
@AndrewD.Hwang Wie haben Sie es geschafft, die Tatsache zu erreichen, dass Level-Sets gleichmäßig verteilt sind?
Das war "Chris". :) Aber die Idee ist, dass der Gradientenfluss jede reguläre Ebene zu einer anderen regulären Ebene schickt, gerade weil die Norm des Gradienten auf den Ebenen konstant ist.
Meine schlechte, wird jetzt korrigieren!

Antworten (1)

Wenn F Ist C 1 , weil die Norm des Gradienten auf den Ebenen von konstant ist F , gibt es eine stetige, reellwertige Funktion λ einer Variablen befriedigend

“ ∇ F ( X ) “ = λ ( F ( X ) ) für alle  X .
Wenn F hat also keine kritischen Punkte λ > 0 . Lassen Λ sei eine Stammfunktion für 1 / λ und lass G = Λ ∘ F . Nach der Kettenregel
“ ( ∇ G ) ( X ) “ = | Λ ' ( F ( X ) ) | ⋅ “ ∇ F ( X ) “ = 1.
Durch die Lösung der verknüpften Frage, G ist affin. Folglich, F auf Hyperebenen konstant ist und daher effektiv eine Funktion einer Variablen ist.

Wenn F kritische Punkte hat, kann mehr passieren. Zum Beispiel, F könnte eine Funktion des quadratischen Abstands von einem affinen Unterraum sein (ein Punkt nach oben durch eine Hyperebene).

[Überlegungen: Nebenbei habe ich keinen Beweis, das ist alles, aber in Anlehnung an Chris' Kommentar ist dies das, was man erwartet; Ich wäre geneigt zu überprüfen, ob die regulären Ebenen von F haben konstante Hauptkrümmungen.]

Meinen Sie mit kritischen Punkten etwa ein Maximum/Minimum?
Ja; insbesondere Punkte, an denen der Gradient verschwindet.
Oh, tut mir leid, dass ich an etwas anderes gedacht habe. Ich entschuldige mich dafür, es kann einige kritische Werte geben. Es wird immer eine endliche Anzahl von kritischen Werten geben und höchstwahrscheinlich nur einen. Glaubst du, du könntest dann mehr dazu sagen?
Jede kugelsymmetrische Funktion (dh eine Funktion der Entfernung von einem Punkt) hat Ihre Eigenschaft, und nach den Überlegungen würde ich vermuten, dass das alles ist, aber ohne weiteres habe ich keinen Beweis. Wenn diese Antwort nicht relevant ist, lösche ich sie gerne. In jedem Fall ist es wichtig, diese Informationen zu Ihrer Frage hinzuzufügen. :)
Was genau meinst du mit Abstandsquadratfunktion oder Kugelsymmetriefunktion?
Bis auf eine Übersetzung (um den kritischen Punkt zum Ursprung zu verschieben), eine Funktion von X 1 2 + ⋯ + X N 2 (Distanzquadrat zum Ursprung). Eine Funktion einer Summe nur einiger dieser Terme hat auch Ihr Eigentum; Die Ebenen sind dann Zylinder, die mit einem affinen Unterraum koaxial sind R N .
Funktion, deren Steigung auf ihren Niveausätzen von konstanter Norm ist
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