Was könnte die Definition eines positiv orientierten Diagramms in From Calculus to Cohomology sein?

Eine sehr lange Frage!

Wie Sie wissen, entsteht das Konzept der Orientierung in der linearen Algebra, indem Äquivalenzklassen geordneter Basen eines reellen Vektorraums genommen werden$V$, zwei solche Basen$\{b_i \}$Und$\{b'_i \}$äquivalent, wenn der lineare Automorphismus sendet$b_i$Zu$b'_i$hat eine positive Determinante. Es gibt genau zwei Orientierungen eines Vektorraums$V$mit Abmessung$> 0$. Für einen General$V$Keine dieser beiden Orientierungen ist privilegiert, und es wäre willkürlich, die eine positiv und die andere negativ zu nennen. Wie auch immer, wenn$\omega$ist eine Orientierung von$V$, macht es Sinn zu schreiben$-\omega$für die andere Orientierung, dh das Minuszeichen zeigt an, dass die Orientierung umgekehrt ist. Beachten Sie, dass ein linearer Isomorphismus$f : V \to W$zwischen Vektorräumen$V,W$stellt eine Bijektion zwischen geordneten Basen von her$V,W$, und damit zwischen Orientierungen von$V,W$. Wir können daher sagen, dass lineare Isomorphismen Orientierungen zwischen Vektorräumen übertragen .

Im Gegensatz zum allgemeinen Fall$\mathbb{R}^n$als Standardmodell eines$n$-dimensionaler reeller Vektorraum hat eine kanonisch geordnete Basis$\{ e_1,\dots,e_n \}$, und ihre Äquivalenzklasse wird üblicherweise als positive Orientierung von bezeichnet$\mathbb{R}^n$. Diese besondere Situation ist darauf zurückzuführen, dass das Set$\{ 1,\dots,n \}$hat eine natürliche Ordnung.

Es gibt verschiedene äquivalente Ansätze, um das Konzept einer Orientierung auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit zu definieren$M$. Meiner Meinung nach ist der beste Ansatz, eine Orientierung von zu definieren$M$eine Familie zu sein$\Omega = (\omega_p)_{p \in M}$von kompatiblen Orientierungen der Tangentialräume$T_pM$. Aber was bedeutet kompatibel? Das Problem ist, dass$T_{p_i}M$sind verschieden für$p_1 \ne p_2$, daher können wir nicht sagen, dass die Orientierungen$\omega_{p_i}$von$T_{p_i}M$ einverstanden .

Betrachten wir zunächst den einfachen Fall einer offenen Teilmenge$V \subset \mathbb{R}^n$. Die Tangentialräume$T_xV$,$x \in V$, sind alle verschieden, aber es gibt einen kanonischen linearen Isomorphismus$h_x : T_xV \to \mathbb{R}^n$. Dadurch kann eine Ausrichtung von definiert werden$V$eine Familie von Orientierungen zu sein$(\omega_x)_{x \in V}$der Orientierungen von$T_xV$so jeder jeder$x_0 \in V$hat eine offene Nachbarschaft$V_{x_0} \subset V$so dass für jeden$x \in V_{x_0}$,$h_x$Überweisungen$\omega_x$auf die gleiche Ausrichtung von$\mathbb{R}^n$. Es ist leicht zu erkennen, dass eine Verbindung besteht$V$hat genau zwei Orientierungen. Wir können außerdem sagen, dass eine Orientierung von$V$ist positiv, wenn jeder$h_x$Überweisungen$\omega_x$zur positiven Ausrichtung von$\mathbb{R}^n$. Endlich, wenn$R : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ist eine Spiegelung an einer Hyperebene, z$R(x_1,\dots,x_n) = (-x_1,x_2\dots, x_n)$, dann sehen wir, dass der Diffeomorphismus$R_V = R : V \to R(V)$hat das Eigentum$h_{R(x)} \circ T_xR_V = -h_x$, dh$R_V$ist eine Orientierungsumkehr.

Eine Orientierung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit$M$wird jetzt als Familie von Orientierungen definiert$\Omega = (\omega_p)_{p \in M}$von$T_pM$so dass für jedes Diagramm$\phi : U \to V \subset \mathbb{R}^n$die Familie$\phi_*(\Omega) = (T_{\phi^{-1}(x)}\phi(\omega_{\phi^{-1}(x)})_{x \in V})$ist eine Orientierung an$V$. Die Grafik$\phi$soll in Bezug auf positiv (negativ) orientiert sein$\Omega$Wenn$\phi_*(\Omega)$ist die positive (negative) Orientierung von$V$. Offensichtlich ist jedes Diagramm auf einem verbunden$U$ist entweder positiv oder negativ orientiert. Wenn$U$nicht verbunden ist, können wir nur sagen, dass die Einschränkung$\phi_\alpha$von$\phi$zu jeder Komponente$U_\alpha$von$U$ist entweder positiv oder negativ orientiert. Außerdem für jedes Diagramm$\phi : U \to V$es existiert ein diagramm$\phi' : U \to V'$so dass$h_{\phi'(p)}(\phi'_*(\omega_p)) = - h_{\phi(p)}(\phi_*(\omega_p))$für alle$p \in U$(Nehmen Sie einfach eine Reflexion$R : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$und definieren$\phi' = R_V \circ \phi : U \to V' = R(V)$). Wenn wir komponentenweise arbeiten, sehen wir das in jedem Diagrammbereich (der eine offene Teilmenge ist$U \subset M$die als Bereich eines Horoskops auftritt) gibt es sowohl positiv als auch negativ orientierte Horoskope.

Die Sammlung aller positiv orientierten Charts bildet einen Atlas für$M$. Alle Übergangsfunktionen zwischen Diagrammen in diesem Atlas haben die Eigenschaft, dass das Vorzeichen die Determinante der Jacobi-Matrix ist$+1$an jedem Punkt. Beachten Sie, dass die Sammlung aller negativ orientierten Diagramme dieselbe Eigenschaft hat.

Jeder Atlas mit der oben genannten Eigenschaft wird als orientierbarer Atlas bezeichnet , und dies ist eine alternative Möglichkeit, das Konzept der Orientierung auf Mannigfaltigkeiten einzuführen.

Beachten Sie jedoch, dass es keine offenen Teilmengen gibt$U \subset M$die im absoluten Sinne positiv orientiert sind: Positive Orientierung ist eine Eigenschaft von Horoskopen in Bezug auf eine Orientierung$\Omega$.