Ableitung der quadratischen Form als lineare Annäherung

Question

Ableitung der quadratischen Form als lineare Annäherung

Benutzer1447447

Ich versuche, die Ableitung von zu finden $quadratic$ Formular, für a $symmetric$ $n$ von $n$ Matrix A und $x \in \mathbb{R}^n$ ,

F (X) = X^{T} A X

$f(x) = x^tAx$ so dass die Ableitung eine lineare Abbildung von ist

R^{n} \to R

$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ . Durch Anwendung der Kettenregel konnte ich die Ableitung berechnen als

f^{'} (x) = 2 x^{t} A

$f'(x) = 2x^tA$ indem Sie die Matrix erweitern und die Kettenregel verwenden (Sie erhalten am Ende

f^{'} (x) = x^{t} (A^{t} + A) = 2 x^{t} A

$f'(x) = x^t(A^t + A) = 2x^tA$ , aber das ist eindeutig keine Karte von

R^{n} \to R

$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ , obwohl es der Gradient der Funktion zu sein scheint. Etwas Hilfe wäre dankbar, danke!

Jan

Es ist eine Karte von

R^{n} \to R

$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ , oder besser gesagt, es induziert einen. Insbesondere induziert es die Karte

y \mapsto 2 x^{t} A y

$y \mapsto 2 x^t A y$ . Seit

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ ein Hilbert-Raum ist, haben wir den Riesz-Darstellungssatz, also ist diese lineare Funktion tatsächlich nur das innere Produkt zwischen einem Vektor (den wir den Gradienten nennen) und der Störung.

Benutzer1447447

Ja, die Art und Weise, wie das Problem aufgebaut wurde, war verwirrend - so stand es

f^{'} (x)

$f'(x)$ war eine Karte von

R^{n} \to R

$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ , was ich interpretiert habe

f^{'} : R^{n} \to R

$f' : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ was nicht der Fall ist. Danke aber für die Klarstellung!

Jan

Leider missbrauchen wir die Notation mit Funktionen. Wir schreiben oft "

f (x)

$f(x)$ "wenn wir meinen"

f

$f$ , eine Funktion mit einem Argument, deren Argument wir aufrufen

x

$x$ ". Aber es sollte wirklich bedeuten "

f

$f$ bewertet bei

x

$x$ ". Es scheint, dass Ihre Quelle diese Falle durch die Beschreibung vermied

f^{'} (x)

$f'(x)$ als selbst eine Funktion, insbesondere die Linearisierung von

f

$f$ am Punkt

x

$x$ .

Benutzer1447447

Auf jeden Fall, und es scheint, als wäre es in der Differentialgeometrie (anscheinend aus meiner begrenzten Erfahrung) notwendig, Konventionen zu respektieren, sonst werden Karten (insbesondere Differentiale) verwirrend.

Antworten (1)

Ableitung der quadratischen Form als lineare Annäherung

Es ist eine Karte von $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ , oder besser gesagt, es induziert einen. Insbesondere induziert es die Karte $y \mapsto 2 x^t A y$ . Seit $\mathbb{R}^n$ ein Hilbert-Raum ist, haben wir den Riesz-Darstellungssatz, also ist diese lineare Funktion tatsächlich nur das innere Produkt zwischen einem Vektor (den wir den Gradienten nennen) und der Störung.
Ja, die Art und Weise, wie das Problem aufgebaut wurde, war verwirrend - so stand es $f'(x)$ war eine Karte von $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ , was ich interpretiert habe $f' : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ was nicht der Fall ist. Danke aber für die Klarstellung!
Leider missbrauchen wir die Notation mit Funktionen. Wir schreiben oft " $f(x)$ "wenn wir meinen" $f$ , eine Funktion mit einem Argument, deren Argument wir aufrufen $x$ ". Aber es sollte wirklich bedeuten " $f$ bewertet bei $x$ ". Es scheint, dass Ihre Quelle diese Falle durch die Beschreibung vermied $f'(x)$ als selbst eine Funktion, insbesondere die Linearisierung von $f$ am Punkt $x$ .
Auf jeden Fall, und es scheint, als wäre es in der Differentialgeometrie (anscheinend aus meiner begrenzten Erfahrung) notwendig, Konventionen zu respektieren, sonst werden Karten (insbesondere Differentiale) verwirrend.

HK Lee · Answer 1

Lassen

X (0) = X_{0}, X^{'} (0) = v

$x(0)=x_0,\ x'(0)=v$

So

F (X (T)) = X (T)^{T} A X (T)

$f(x(t))= x(t)^T A x(t)$ so dass

D F : R^{N} \times R^{N} \to R

$Df : {\bf R}^n\times {\bf R}^n\rightarrow {\bf R}$ Ableitung bilden:

D F (X_{0}, v) = \frac{D}{D T} |_{T = 0} F (X (T)) = v^{T} A X_{0} + X_{0}^{T} A v

$Df (x_0,v) =\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} f(x(t))=v^T A x_0+x_0^T A v$ Seit

A

$A$ ist symmetrisch

X_{0}^{T} A v = (X_{0}^{T} A v)^{T} = v^{T} A X_{0}

$x_0^T A v =(x_0^T A v)^T=v^TAx_0$

Somit

D F (v) = 2 v^{T} A X_{0}

$Df (v)=2v^TAx_0$

Das ist $Df(x_0)$ ist eine lineare Abbildung $Df(x_0)=2x_0^TA : {\bf R}^n\rightarrow {\bf R},\ v\mapsto 2x_0^TA v$

Danke Hee, aber im zweiten Schritt, wie funktioniert $f(t) = f(x(t))$ ? $f(t) = t^tAt$ , Rechts? Meinst du $f(x) = f(x(t))$ ?
Domäne von $f$ Ist ${\bf R}^n$ . Wenn wir eine Ableitung von betrachten $f$ , betrachten wir zunächst a $curve$ in einer Domäne ${\bf R}^n$ . Wenn $x: t\in {\bf R}\rightarrow {\bf R}^n,\ x(0)=x_0,\ x'(0)=v$ , Dann $f(x)=f(x(t))$ Und $\frac{d}{dt} f(x(t))=Df (x'(0))=Df(v)$

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Benutzer1447447

Jan

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Jan

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HK Lee

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HK Lee

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