Was ist die Motivation für differentielle Formen?

Spivak scheint in seinem Buch A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Band 1, mehr Zeit damit zu verbringen, Intuition zu entwickeln. 111, in Kapitel 4, schreibt er:

Klassische Differentialgeometer (und klassische Analytiker) zögerten nicht, von „unendlich kleinen“ Änderungen zu sprechen$dx^i$der Koordinaten$x^i$, so wie Leibnitz es getan hatte. Niemand wollte zugeben, dass dies Unsinn war, denn wahre Ergebnisse wurden erzielt, wenn diese unendlich kleinen Mengen ineinander geteilt wurden (vorausgesetzt, man machte es richtig).

Schließlich wurde erkannt, dass man der Beschreibung einer unendlich kleinen Änderung am ehesten kommen kann, wenn man eine Richtung beschreibt, in der diese Änderung auftreten soll, dh einen Tangentenvektor. Seit$df$soll die infinitesimale Änderung von sein$f$unter einer infinitesimalen Änderung des Punktes,$df$muss eine Funktion dieser Änderung sein, was bedeutet, dass$df$sollte eine Funktion auf Tangentenvektoren sein. Der$dx^i$selbst dann in Funktionen umgewandelt, und es wurde klar, dass sie von den Tangentenvektoren unterschieden werden müssen$\partial/\partial x^i$.

Als diese Erkenntnis kam, war es nur noch eine Sache, neue Definitionen zu treffen, die die alte Notation beibehielten , und darauf zu warten, dass jeder aufholte. Kurz gesagt, alle klassischen Begriffe, die unendlich kleine Größen beinhalten, wurden zu Funktionen auf Tangentenvektoren, wie z$df$, mit Ausnahme von Quotienten unendlich kleiner Mengen, die zu Tangentenvektoren wurden, wie z$dc/dt$.

Die offensichtlichste Verwendung von Differentialformen bezieht sich auf die Integration. Sie sind die Sprache, in der wir zum Beispiel den Satz von Stokes ausdrücken: wann immer Sie eine kompakte, orientierbare Mannigfaltigkeit haben$M^n$mit Rand das Integral von a$(n-1)$-form$\omega$über$\partial M$gleich dem Integral von$\mathrm{d}\omega$über$M$(insbesondere das Integral einer exakten Form über einer geschlossenen Mannigfaltigkeit ist immer Null, ebenso wie das Integral einer geschlossenen Form über dem Rand).

Das ist natürlich nicht alles. Zum Beispiel ergeben geschlossene / exakte Formen, die Sie erwähnt haben, die de Rham-Kohomologie, eine wichtige topologische Invariante. Es gibt noch mehr, aber dafür müssen Sie etwas tiefer graben.

Bleiben wir bei 1-Formen$M$der Einfachheit halber. Wenn Sie bereits von der Bedeutung von Vektorfeldern überzeugt sind$M$, Ich habe gute Nachrichten für dich. Vektorfelder und 1-Formulare sind im eigentlichen Sinne duale Objekte, aber es gibt einen guten Grund, mit 1-Formularen statt mit Vektorfeldern zu arbeiten. Nämlich dann, wenn man eine glatte Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten hat$N\to M$, man kann eine Differentialform aus zurückziehen$M$zurück zu$N$, aber man kann ein Vektorfeld im Allgemeinen nicht weiter schieben$N$zu einem Vektorfeld auf$M$. Dies ist sicherlich nicht die ganze Geschichte, aber vielleicht ein Anfang. Dies zeigt, dass es für 1-Formen eine geeignete Funktorialität gibt, die für Vektorfelder nicht vorhanden ist. Deshalb ist es manchmal sinnvoller, mit 1-Formen zu arbeiten als mit Vektorfeldern, auch wenn letztere intuitiver zugänglich sind.