Quadratische Differentialformen in der Kohomologie

Nein, das ist nicht immer möglich. Ich werde den Fall analysieren$n = 1$weil es mit der symplektischen Geometrie verwandt ist. Beachten Sie, dass das Zeichen von$\omega' \wedge \omega'$ist nicht wohldefiniert, ohne eine bestimmte Ausrichtung zu wählen$M$während der Zustand$\omega' \wedge \omega' \neq 0$macht Sinn, also verwende ich stattdessen diese Bedingung. Eine Zweierform$\omega' \in \Omega^2(M;\mathbb{R})$erfüllt$\omega' \wedge \omega' \neq 0$überall wenn und nur wenn$\omega'$ist überall nicht entartet. Also wann$n = 1$, Sie fragen sich im Grunde, ob Sie einen Kohomologieunterricht gegeben haben$[\omega]$mit$\int_{M} \omega \wedge \omega \neq 0$, kann man eine geschlossene, nicht entartete (dh symplektische) Zweierform finden$\omega' \in [\omega]$?

Um zu sehen, dass dies nicht immer möglich ist, nehmen Sie zum Beispiel$M = \mathbb{CP}^2 \# \mathbb{CP}^2$. Bezeichne mit$\omega_{FS}$die Fubini-Studie symplektische Form auf$\mathbb{CP}^2$. Dann$H^2(M) \cong H^2(\mathbb{CP}) \oplus H^2(\mathbb{CP})$. Lassen$\omega \in \Omega^2(M)$ein Vertreter der Kohomologieklasse von sein$([\omega_{FS}],0)$. Dann haben wir durch die Berechnung des Kohomologierings einer zusammenhängenden Summe

Allerdings ist es "bekannt", dass die Vielfältigkeit$M$hat keine fast komplexe Struktur und hat daher keine symplektische Zweierform$[\omega]$(oder in jeder anderen Kohomologieklasse).