Eine glatte Mannigfaltigkeit lässt genau dann eine nirgendwo verschwindende n-Form zu, wenn sie orientierbar ist

Question

Eine glatte Mannigfaltigkeit lässt genau dann eine nirgendwo verschwindende n-Form zu, wenn sie orientierbar ist

Mathematik
Orientierung
glatte Verteiler
Differentialformen
Differentialgeometrie

Victor Gustav May

Es gibt diesen wohlbekannten Satz (den im Titel), ich lese einen Beweis dafür in Spivak's Eine umfassende Einführung in die Differentialgeometrie , und ich habe eine Frage zu einem Schritt darin. Erstens ist die in diesem Buch verwendete Definition von Orientierbarkeit die folgende:

Ein Verteiler $M$ heißt orientierbar, wenn es eine Sammlung gibt $\mu=\{\mu_p\}$ auf jeder Faser $\pi^{-1}(p)$ von $TM$ , so dass für die lokale Trivialisierung $(t,U)$ mit $t:\pi^{-1}(U)\rightarrow U\times \mathbb{R}^n$ , Wo $\mathbb{R}^n$ erhält eine feste Orientierung. Dann $t$ ist auf allen Fasern entweder orientierungserhaltend oder reversierend.

Der Beweis von (nicht verschwindender n-Form $\Rightarrow$ $M$ ist orientierbar) ist ziemlich einfach, der Beweis der Umkehrung ist derjenige, den ich nicht wirklich verstehe. Wir stiften zuerst $M$ der Abdeckung $\mathcal{O}$ die aus lokalen Koordinatensystemen bestehen $(x,U)$ und eine Teilung der Einheit $\{\phi_U \}_{U\in \mathcal{O}}$ . Für jede $(x,U)$ wir wählen eine n-Form $\omega_U$ An $U$ so dass für $v_1,\ldots, v_n\in T_pM$ für $p\in M$ wir haben

ω_{U} (v_{1}, \dots, v_{N}) > 0 \Leftrightarrow [v_{1}, \dots, v_{N}] = μ_{P}

$\omega_U(v_1,\ldots, v_n)>0\Leftrightarrow [v_1,\ldots, v_n]=\mu_p$ . Als nächstes definieren wir

ω = \sum_{U \in Ö} ϕ_{U} ω_{U}

$\omega=\sum_{U\in \mathcal{O}}\phi_U \omega_U$ Dann vervollständigt dies fast sofort den Beweis, da für jeden

p

$p$ , die Summe ist endlich und immer nicht negativ.

Ok, also meine Frage ist. Warum ist $\omega$ glatt? Ist die Teilung der Einheit wirklich notwendig? Warum ich mit letzterem meine, ist, dass es so aussieht, als ob wir es nur brauchten $\mathcal{O}$ Um lokal endlich zu sein, brauchen wir die Funktionen nicht, wir könnten sie einfach durch die konstante Abbildung ersetzen $1$ .

Meine Vorstellung vom Bau von $\omega_U$ ist, dass es durch eine gegebene definiert werden sollte $(x,U)$ aus der wir das Cover generiert haben $\mathcal{O}$

ω_{U} = D X^{1} \land \dots \land D X^{N}

$\omega_U=dx^1\wedge \ldots \wedge dx^n$ Hier dürfen wir davon ausgehen

[x^{1}, \dots, x^{n}] = μ_{p}

$[x^1,\ldots, x^n]=\mu_p$ , andernfalls ordnen Sie sie einfach neu an. Dies ist eindeutig ungleich Null in

U

$U$ . Aber wie ist die globale Definition von

ω

$\omega$ glatt?

Ted Schifrin

Sie benötigen wie immer Partitionen der Einheit, um lokal definierte glatte Objekte zu kleben, um ein globales Objekt zu definieren.

ω_{U}

$\omega_U$ ist nur auf definiert

U

$U$ .

Victor Gustav May

Und könnten die Funktionen nicht durch die charakteristische Funktion der Menge ersetzt werden? dh

ϕ_{U} \to χ_{U}

$\phi_U \to \chi_U$ Wobei diese Funktion 1 auf U und 0 anderswo ist.

Ted Schifrin

Sie würden am Ende etwas sehr Diskontinuierliches! Probieren Sie es mit Funktionen aus!

Victor Gustav May

OK großartig! Ich sehe das jetzt. Wenn ich die „lokalen Formen“ „klebe“, erhalte ich möglicherweise keine Kontinuität. Aber wie sorgt die Teilung der Einheit dafür, geschweige denn für Glätte? Könnten Sie dazu einen Hinweis geben oder vielleicht näher darauf eingehen?

Matematleta

Ich fand die Konstruktion von Stoßfunktionen und dann Partitionen der Einheit, die von Grund auf neu erstellt wurden, in Tus Buch sehr lesbar .

Ted Schifrin

Ich habe hier andere Beiträge über Partitionen der Einheit geschrieben. Jede

ϕ_{U}

$\phi_U$ ist glatt u

0

$0$ außerhalb einer kompakten Teilmenge von

U

$U$ . Bevor Sie fortfahren, sollten Sie verstehen, warum das Produkt

ϕ_{U} f_{U}

$\phi_U f_U$ ist glatt für jede glatte Funktion, Form ...

f_{U}

$f_U$ definiert an

U

$U$ .

Victor Gustav May

Dies folgt aus der endlichen Summe des Produkts von Paaren glatter Funktionen, nicht wahr?

Antworten (1)

Eine glatte Mannigfaltigkeit lässt genau dann eine nirgendwo verschwindende n-Form zu, wenn sie orientierbar ist

Sie benötigen wie immer Partitionen der Einheit, um lokal definierte glatte Objekte zu kleben, um ein globales Objekt zu definieren. $\omega_U$ ist nur auf definiert $U$ .
Und könnten die Funktionen nicht durch die charakteristische Funktion der Menge ersetzt werden? dh $\phi_U \to \chi_U$ Wobei diese Funktion 1 auf U und 0 anderswo ist.
Sie würden am Ende etwas sehr Diskontinuierliches! Probieren Sie es mit Funktionen aus!
OK großartig! Ich sehe das jetzt. Wenn ich die „lokalen Formen“ „klebe“, erhalte ich möglicherweise keine Kontinuität. Aber wie sorgt die Teilung der Einheit dafür, geschweige denn für Glätte? Könnten Sie dazu einen Hinweis geben oder vielleicht näher darauf eingehen?
Ich fand die Konstruktion von Stoßfunktionen und dann Partitionen der Einheit, die von Grund auf neu erstellt wurden, in Tus Buch sehr lesbar .
Ich habe hier andere Beiträge über Partitionen der Einheit geschrieben. Jede $\phi_U$ ist glatt u $0$ außerhalb einer kompakten Teilmenge von $U$ . Bevor Sie fortfahren, sollten Sie verstehen, warum das Produkt $\phi_U f_U$ ist glatt für jede glatte Funktion, Form ... $f_U$ definiert an $U$ .
Dies folgt aus der endlichen Summe des Produkts von Paaren glatter Funktionen, nicht wahr?

Tobi Bartels · Answer 1

Der Grund dass $\omega$ glatt ist, dass es in der Nähe eines gegebenen Punktes durch eine endliche Summe glatter Terme definiert ist. Eine unendliche Summe glatter Funktionen ist nicht notwendigerweise glatt; deshalb $\mathcal O$ muss lokal endlich sein. Und wir brauchen eine Partition der Einheit, die aus glatten Stoßfunktionen aufgebaut ist, nicht nur so etwas wie charakteristische Funktionen einer Partition der Menge von Punkten, so dass die $\phi _ U$ wird glatt sein. Natürlich die $\omega _ U$ sind glatt, da sie als glatte Funktion der lokalen Koordinaten und ihrer Differentiale definiert sind.

Wenn ich mich richtig erinnere, hat Spivak einige Zeit vor der Diskussion über Orientierung eine allgemeine Diskussion über Partitionen der Einheit; überprüfen Sie den Index. Dies sollte dazu beitragen, die Bedeutung lokaler Endlichkeit und glatter Bump-Funktionen zu unterstreichen. Sie werden das verstehen wollen, denn es ist ein Trick, der immer wieder verwendet wird, um zu beweisen, dass etwas, das lokal existiert, auch global existieren kann.

Das braucht man übrigens nicht nur jeweils $\omega _ U$ ist ungleich Null an $U$ aber das $\sum _ U \phi _ U \omega _ U$ ist an jedem Punkt ungleich Null. Hier ist es wichtig, dass jeder $\omega _ U$ hat die gleiche Ausrichtung. Deshalb könnten Sie ohne die Hypothese, dass eine globale Orientierung existiert, immer noch nicht beweisen, dass eine globale Nicht-Null ist $n$ -Formular existiert.

Vielen Dank! Ja, ich bin deswegen dorthin zurückgekehrt. Und ja, diese letzte Bemerkung, die du gemacht hast, ist mir aufgefallen. Danke.

Eine glatte Mannigfaltigkeit lässt genau dann eine nirgendwo verschwindende n-Form zu, wenn sie orientierbar ist

Victor Gustav May

Ted Schifrin

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Matematleta

Ted Schifrin

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Tobi Bartels

Victor Gustav May

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