Warum müssen Differentialformen antisymmetrisch sein?

EDIT: Ich kann nicht anders, als dem mehr Kontext zu geben.

Das ultimative Ziel ist es, einen Weg zu finden, ein Integral auf einer Mannigfaltigkeit zu definieren, ohne eine geometrische Struktur wie eine Riemannsche Metrik zu verwenden. Warum irgendjemand denken sollte, dass dies möglich sein sollte, ist mir schleierhaft. Aber jetzt, da wir die Antwort kennen, können wir uns eine Geschichte wie die folgende ausdenken.

Wenn Sie etwas über eine Mannigfaltigkeit integrieren wollen, sollten Sie besser mit der einfachsten möglichen Situation beginnen. Der übliche Weg, um zu beginnen, besteht darin, eine 2D-Region in Rechtecke zu zerteilen und eine gewichtete Summe der Flächen der Rechtecke zu erstellen. Aber diese Konstruktion ist eindeutig koordinatenabhängig.

Der anfängliche Fokus liegt also auf der Definition der Fläche eines Rechtecks ​​in einem abstrakten Vektorraum$V$(nicht$\mathbb{R}^2$weil das Koordinaten impliziert). Aber in$V$Es gibt keine Rechtecke, nur Parallelogramme.

Wir wollen also zeigen, dass die Fläche des Parallelogramms von zwei Vektoren in aufgespannt wird$\mathbb{R}^2$kann auf rein abstrakte Weise definiert werden, die nur die Vektorraumstruktur und keine anderen Annahmen verwendet$V$. Um dies zu tun, besteht die Idee darin, das zu verwenden, was wir über die Fläche eines Parallelogramms im euklidischen Raum wissen, ohne uns jedoch auf eine Formel dafür zu verlassen.

Lassen$A(v,w)$sei die Fläche des aufgespannten Parallelogramms$v, w \in V$. Beachten Sie, dass die Flächenfunktion nur bis zu einem Skalarfaktor wirklich gut definiert ist, aber wir werden nur mit einem davon arbeiten. Wir wollen die Eigenschaften von ableiten$A$Verwenden Sie beispielsweise nur Bilder und grundlegende Geometrie.

Lassen Sie uns der Einfachheit halber zeichnen$v$horizontal und beachten Sie, dass jeder Vektor nicht parallel dazu ist$v$zeigt entweder nach oben oder nach unten.

Das Bild

zeigt, dass wenn beide Vektoren$w_1, w_2$beide zeigen dann nach oben

Die brillante Erkenntnis, die jemand hatte, ist, dass es sinnvoll ist, den absoluten Wert und den Call wegzulassen$A(v,w)$der vorzeichenbehaftete Bereich des Parallelogramms. Linearität bzgl$w$impliziert, dass die Fläche des Parallelogramms positiv ist, wenn$w$zeigt nach oben und negativ, wenn es nach unten zeigt. Antisymmetrie erscheint jetzt, denn wenn$w$zeigt relativ zu nach oben$v$, Dann$v$zeigt relativ zu nach unten$w$. Deshalb

Beachten Sie, dass wir bei der Ableitung dieser Schlussfolgerung nie Koordinaten, Längen oder Winkel verwendet haben. So$A$ist bis auf einen konstanten Faktor ungleich Null in Bezug auf jede lineare Transformation von wohldefiniert$V$. Die Orientierung erscheint jetzt, weil der konstante Faktor ein Vorzeichen hat.

Warum also den signierten Bereich anstelle des Bereichs verwenden? Die Tatsache, dass$A$ist algebraisch viel einfacher zu handhaben als$|A|$ist eine starke Motivation. Entscheidend ist jedoch der Satz von Stokes. An diesem Punkt verwende ich Koordinaten und betrachte ein Rechteck darin$\mathbb{R}^2$. Das Ziel ist es, einen 2. Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung zu finden. Will man diese Koordinate letztendlich unabhängig machen, dann ist das einzig mögliche Integral um den Rand ein Linienintegral. Schreibt man die Formel für ein Linienintegral (von a$1$-Form) und den 1d-Grundsatz der Analysis anwenden, ist das resultierende Doppelintegral leicht als antisymmetrischer 2-Tensor zu erkennen. In dieser einen Berechnung sehen Sie, wie Sie die äußere Ableitung von a definieren$1$-Bilden und beweisen Sie den Satz von Stoke auf einem Rechteck.

Wenn Sie außerdem den Wert absolut weglassen, können Sie Rechtecke zusammenkleben und den Satz von Stokes auf Mannigfaltigkeiten mit Rand erweitern. Das ist mit Dichten nicht möglich.

Von hier aus ist es einfach, den Kalkül der Differentialformen zu entwickeln.

Es gibt ein allgemeines Thema in der Mathematik, das Sie einführen$\pm$in Ihre Definition führt dies oft zu schöneren mathematischen Eigenschaften. Das begegnet dir zum ersten Mal in der Analysis. Sie definieren$\int_a^b f$gleich sein$-\int_b^a f$aus dem einfachen Grund, weil man gezwungen ist, wenn man will, dass die "Ersetzungsregel" generell funktioniert.

Wenn es um Differentialformen geht, handelt es sich um Verallgemeinerungen des Gebiets. Vermuten$A(x,y)$stellt die durch zwei Vektoren bestimmte Fläche dar$x,y$im Flugzeug$\mathbb{R}^2$. Wenn Sie sich dafür entscheiden, den Bereich nur mit der positiven Konvention zu definieren, dann$A(cx,y) = |c| A(x,y)$. Beachten Sie das Vorhandensein von$|c|$, dies macht nun die Eigenschaften von$A(\cdot,\cdot)$ärgerlicher zu behandeln.

Außerdem, wenn wir den orientierten Bereich verwenden, dann$A(x,y) = -A(y,x)$, insbesondere impliziert es das$A(x,x) = -A(x,x)$, und so$A(x,x) = 0$, was genau so sein sollte, da kein Bereich gebildet wird!

Und dann kann es weitergehen. Die bilinearen Eigenschaften von$A(\cdot,\cdot)$wird einfach nicht funktionieren, wenn Sie sich gezwungen haben, stattdessen den absoluten Bereich zu verwenden.

Differentialformen können verwendet werden, um die Orientierung auf glatten Mannigfaltigkeiten zu definieren, und sie sind in hohem Maße darauf angewiesen, dass sie antisymmetrisch sind. Um genauer zu sein, beachten Sie zuerst, ob Sie einen Vektorraum haben$V$von Dimension$n$, dann die Karte$\det:V^n\rightarrow \mathbb{R}$ist eine Antisymmetrie$n$-lineare Funktion (erstelle eine Matrix aus Vektoren, indem du sie nebeneinander stellst, dann berechne die Determinante). Das kannst du beliebig prüfen$n$-lineare antysimmetrische Karte ist nur einige konstante Zeiten$\text{det}$. Nehmen wir nun an, Sie haben einen glatten Verteiler$M$von Dimension$n$, und Sie haben ein Nirgendwo-Null-Differential$n$-form$\omega$. Dann bei jedem$p\in M$,$\omega$ermöglicht Ihnen die Auswahl von Ausrichtungen für$T_pM$und diese Ausrichtung "hängt glatt ab$p$" und diese Orientierung wird auf der ganzen Mannigfaltigkeit kompatibel sein. Genauer gesagt ist eine glatte Mannigfaltigkeit M genau dann orientierbar (was bedeutet, dass Sie einen Atlas so wählen können, dass die Übergangsfunktionen die Orientierung erhalten).$M$lässt ein Nirgendwo-Null-Differential zu$n$-form.

$\newcommand\form[1]{\langle#1\rangle} \newcommand\K{\mathbb K} \newcommand\R{\mathbb R} \newcommand\linspan{\mathrm{span}} \newcommand\Extsym{{\textstyle\bigwedge}} \newcommand\Ext{\mathop\Extsym} \newcommand\Blades[1]{\mathop{\Extsym^{\!(k)}}} \newcommand\MVects[1]{\mathop{\Extsym^{\!k}}} \newcommand\dd{\mathrm d} \newcommand\lintr{\mathbin{{\lrcorner}}}$

Hier ist eine Perspektive, die ich nicht ganz vertreten sehe. Zu Beginn betrachten wir eine$n$-dimensionaler reeller Vektorraum$V$, obwohl vieles davon auf andere Felder verallgemeinert werden kann.

Was wir jetzt tun möchten, ist einen algebraischen Weg zu finden, Unterräume von darzustellen$V$. Gegeben ein hypothetisches Objekt$X$einen Unterraum darstellt$[X] \subseteq V$, wir wollen ein Produkt$\wedge$so dass

• Bilinearität,
• Assoziativität,
• $\forall v \in V.\, v\wedge v = 0$,

und es stellt sich heraus, dass diese die Bedingungen schaffen

Lassen$M$eine differenzierbare Mannigfaltigkeit sein. Eine Untermannigfaltigkeit$S \subseteq M$hat an jedem Punkt$x \in M$ein eindeutiger tangentialer Unterraum$S_x \subseteq T_xM$. Lassen Sie uns jeden realisieren$S_x$als Klinge hinein$\Ext V$. Wir definieren eine gesteppte$k$-Oberfläche als ein$k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit$S \subseteq M$zusammen mit einer Karte$M \to \Blades kT_xM$geschrieben$x \mapsto S_x$so dass$S_x = 0$iff$x \not\in S$und so das$[S_x] = T_xS \subseteq T_xM$.

Ein Integral $I$nimmt eine Untermannigfaltigkeit$S$und gibt einen Skalar zurück$I(S)$. Heuristisch gesehen sollte einem solchen Integral ein Gewicht zugeordnet werden$w_x$zu jedem$x \in S$, aus denen

Integrieren über zwei Flächen$S, S'$unabhängig voneinander die Summe ihrer Integrale ergeben sollten. Definieren Sie die formale Summe zweier gesteppter Flächen als eine Mehrfachfläche , wobei:

Die Skalierung von$S$von$a \in \K$sollte dazu führen, dass seine Tangentialräume skaliert werden:$(aS)_x = aS_x$. Wir könnten aber auch eine Skalierung von erreichen$S$durch Skalierung der$k$-Volumen$\epsilon \mapsto a\epsilon$. (Beide Sichtweisen sind auch sinnvoll, wenn$a$enthält eine Änderung der Ausrichtung.) Daraus folgt

Also jeder$I_x$ist eine lineare Form auf Grad-$k$Multivektoren; Da die äußere Algebra eine direkte Summe von Noten ist, können wir jede belassen$I_x$sei eine lineare Form auf$\Ext T_xM$, dh$I_x \in (\Ext T_xM)^*$. (Dies kann man sich als einfaches Bündeln von Integralen für Untermannigfaltigkeiten aller Dimensionen vorstellen.)

Unser Ziel ist es nun zu beschreiben$(\Ext V)^*$für einen Vektorraum$V$. Es gibt mehrere Möglichkeiten, zu einer natürlichen bilinearen Paarung zu gelangen$\Ext V^*\times\Ext V \to \K$was definiert werden kann durch

Auf diese Weise ist eine Differentialform notwendigerweise ein Abschnitt des Kotangensbündels$T^*M$.

Das (linke) Innenraumprodukt $\lintr : \Ext V\times\Ext V^* \to \Ext V^*$ist gegeben durch die Adjunkte des äußeren Produkts: z$X^* \in \Ext V^*$Und$Y, Z \in \Ext V$

Anwendung dieser Interpretation auf eine Differentialform$\omega$ist aber nicht hilfreich.$[\omega_x]$sagt uns was$\omega$ vernichtet bei$x$, und so$\omega_x(X)$für$X \in \Ext T_xM$sagt uns (bis zur Orientierung) "wie weit weg"$[X]$aus$[\omega_x]$. Aber wir wollen wissen was$\omega$ Maßnahmen , wenn integriert, nicht, was es ignoriert .

Gegebene Koordinaten$(x^i)_{i=1}^n$für offen$U \subseteq M$, gibt es eine zugehörige Basis$\{e_i(x)\}_{i=1}^n \subset T_xM$für jede$x \in U$definiert von

Die linearen Karten$\xi_x : T_xM \to T^*_xM$welche nehmen$e_i \mapsto \xi(e_i) = e^i$Definieren Sie eine "Metrik" auf$U$über$g(u, v) = \xi(u)(v)$. Dies ermöglicht es uns, in Koordinaten ausgedrückte Differentialformen zufriedenstellend zu interpretieren. Wenn$[X^*]$ist, was$X^*$ignoriert dann$[X^*]^\perp$unter der Metrik$g$ist genau das, was es misst. Zum Beispiel,

• $[\dd x^i]^\perp$ist die Linie orthogonal zur Hyperebene$x^i = 0$.
• $[\dd x^1\wedge\dd x^2]^\perp$ist die Ebene orthogonal zum Schnittpunkt der Hyperebenen$x^1 = 0$Und$x^2 = 0$.

Praktischer,$\xi_x$erstreckt sich auf einen Isomorphismus$\Ext T_xM \cong \Ext T^*_xM$woher$[X^*]^\perp = [\xi^{-1}(X^*)]$. Das bedeutet, dass wir zB interpretieren können$\dd x^i$wie das Messen, wie nah ein Vektor an dem ist$\xi^{-1}(\dd x^i) = e_i$Linie, bzw$\dd x^1\wedge\dd x^2$B. messen, wie nah ein Flugzeug an der ist$e_1\wedge e_2$Ebene.

A$(0,n)$-Tensor$w$ist antisymmetrisch$\iff$ $w(v_{1},...,v_{n})=0$Wenn$v_{1},...,v_{n}$sind linear abhängig.

Lassen$V$ein Vektorraum sein. Wir definieren a$n$-Volumen als ein$n$-lineare Abbildung$Vol^{n}:V^{n}=V\times...\times V\to\mathbb{R}$so dass wenn$v_{1},...,v_{n}$sind dann linear abhängige Vektoren$Vol(v_{1},...,v_{n})=0$.

Dies ist Tau auf ein visuelles Argument: in$\mathbb{R}^{3}$, liegen drei linear abhängige Vektoren in derselben Ebene, sodass das von ihnen gebildete Parallelepiped ein Volumen von einnimmt$0$.

Ebenso im$\mathbb{R}^{2}$Zwei linear abhängige Vektoren liegen auf derselben Linie, sodass das Parallelogramm, das sie bilden, eine Fläche von einnimmt$0$. In diesem Fall nennen wir es Fläche statt 2-Volumen.

Die Bedingung „linear abhängig$\implies$Lautstärke gleich$0$" ist gleichbedeutend mit antisymmetrisch, also sind die oben definierten Volumina genau die$n$-Formen. Die Äquivalenz ist sehr einfach zu überprüfen, alles ergibt sich aus der Tatsache, dass in beiden Fällen wiederholte Vektoren die Anhilliierung des Tensors implizieren.

Also ein Feld von$n$-Formen$w$ist nur eine Möglichkeit, das Volumen zu messen$n$Vektorfelder, was Ihnen die Funktion gibt, die ihr Volumen in jedem Punkt des Tangentialraums der Mannigfaltigkeit misst.

Differenzial zu integrieren$k$-form$\omega$über eine glatte$k$-Verteiler$M$, machen wir folgendes:

1. Zerhacken$M$in winzige Stücke, so dass jedes Stück (ungefähr) ein winziges Parallelepiped ist.
2. Berechnen Sie den Beitrag jedes Stücks. Wenn das i-te Stück (ungefähr) ein Parallelepiped ist, basierend auf Punkt$p \in M$und durch Tangentenvektoren aufgespannt$v_1, \ldots, v_k$, dann ist der Beitrag des i-ten Stücks$\omega_p(v_1, \ldots, v_k)$.
3. Zählen Sie alle Einzelbeiträge zusammen.

Wenn in Schritt 2 zwei der Tangentenvektoren gleich sind, dann ist das Parallelepiped entartet und sein Beitrag zum Integral sollte es sein$0$. Es kann gezeigt werden, dass wenn die multilineare Funktion$\omega_p$hat diese Eigenschaft dann$\omega_p$ist abwechselnd.