Sind kovariante Ableitungen höherer Ordnung symmetrische Tensoren?

Nehmen wir das Tangentialbündel an T M eines glatten Verteilers M ist mit einer torsionsfreien Verbindung ausgestattet. Dann für eine Funktion F An M , man kann das definieren k Ableitung -ter Ordnung ∇ k F iterativ die kovariante Ableitung von sein ∇ k − 1 F Und ∇ 1 F = D F . Es ist bekannt, dass die zweite Ableitung ∇ 2 F ist ein symmetrischer Tensor. Ist ∇ k F ein symmetrischer Tensor für alle k ? Irgendwelche Referenzen?

Ich schlage vor, zuerst die Berechnung für eine beliebige Funktion auf der Einheit durchzuführen 2 -Kugel. Um die Berechnung zu vereinfachen, berechnen Sie die Werte der kovarianten Ableitungen nur an einem einzigen Punkt, entweder dem Nord- oder Südpol oder, wenn Sie stereographische Koordinaten verwenden, nur am Ursprung.

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Die Symmetrie der zweiten kovarianten Ableitung beruht auf Riccis Identität für jeden Abschnitt S :

∇ X , Y 2 S − ∇ Y , X 2 S = R ( X , Y ) S
Wo
R ( X , Y ) S = ∇ X ( ∇ Y ) S − ∇ Y ( ∇ X ) S − ∇ [ X , Y ] S
und wenn Sie eine glatte Funktion ersetzen F für Abschnitt S wir bekommen R ( X , Y ) F = 0 und erklärt die Symmetrie der zweiten kovarianten Ableitung.

Für die kovariante Ableitung dritter Ordnung haben wir Bianchis Identität, die besagt:

∇ X , Y , Z 3 S − ∇ Y , X , Z 3 S = R ( X , Y ) ( ∇ Z S ) − ∇ R ( X , Y ) Z S
und wenn Sie eine glatte Funktion ersetzen F für Abschnitt S Ich glaube nicht, dass die RHS verschwindet. Zumindest für die ersten beiden Parameter ist es also nicht symmetrisch.

Sind kovariante Ableitungen höherer Ordnung symmetrische Tensoren?
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