geodätisch im metrischen Raum und in Mannigfaltigkeiten

In dem Buch von Bridson und Haefliger von „Metric spaces of non-positive curvature“ haben wir die folgende Definition für eine Geodäte in einem metrischen Raum:

Lassen ( X , D ) ein metrischer Raum sein. Eine Karte C : [ 0 , l ] ⟶ X ist eine geodätische wenn für alle S , T ∈ [ 0 , l ] wir haben D ( C ( S ) , C ( T ) ) = | T − S | .

So weit, ist es gut. Im Beispiel unter dieser Definition wird Folgendes angegeben:

„Wir betonen, dass die Pfade, die in der Differentialgeometrie gemeinhin als Geodäten bezeichnet werden, keine Geodäten im metrischen Sinne sein müssen; im Allgemeinen handelt es sich nur um lokale Geodäten .''

Ich nehme an, sie meinen mit „metrischem Sinn“ die Metrik auf unserer Mannigfaltigkeit, die durch unsere Riemannsche Metrik induziert wird. Sonst weiß ich nicht, was sie bedeuten?

Aber wenn das wahr ist, bin ich ziemlich verwirrt darüber, da γ : [ 0 , 1 ] ⟶ R 2 , T ⟼ 2 T ist eine Geodäte im riemannschen Sinne (wenn wir die standardmäßige riemannsche Metrik betrachten R 2 mit induzierter Verbindung). Aber das wird niemals eine lokale Geodäte im metrischen Sinne sein, da D ( γ ( S ) , γ ( T ) ) = 2 | T − S | für alle S , T ∈ [ 0 , 1 ] .

Wo versagt mein Denken? Und wenn es nicht fehlschlägt, was ist die Verbindung zwischen Geodäten im metrischen Sinne und im riemannschen Sinne?

Im Allgemeinen sind "Differentialgeometrie-Geodäten" nur lokal längenminimierend; Betrachten Sie auf der Kugel den Weg vom Nordpol zum Südpol und gehen Sie dann ein Stück weiter auf diesem Weg. Dies ist eine Geodäte, aber der schnellere Weg wäre gewesen, die Kugel in die andere Richtung zu gehen.
Ja ich verstehe das. Aber was mich verwirrt, ist, dass die Autoren behaupten (zumindest verstehe ich es so): Differentialgeometrie-Geodäten sind lokal metrische Geodäten. Aber ich denke, die Kurve γ ist ein Gegenbeispiel?
Eine Sache ist der Abstand zwischen den Punkten in R 2 und ein anderer der Abstand zwischen den Kurven in R 2

Antworten (1)

Ich habe eine Definition gesehen, in der sie geodätisch in einem metrischen Raum als Kurven deklarieren, die zufriedenstellend sind

D ( C ( S ) , C ( T ) ) = v | T − S | ,
für einige v ≥ 0 . Siehe zum Beispiel hier . Die von Ihnen verwendete Definition könnte "Einheitsgeschwindigkeit geodätisch in" heißen ( X , D ) ".

Was die Autoren sagen wollen, ist, dass die Geodäten in der Riemannschen Geometrie möglicherweise nicht geodätisch in Ihrem Sinne sind, selbst wenn sie eine Einheitsgeschwindigkeit haben. Ein einfaches Beispiel ist die Kurve C ( T ) = [ T ] in der eindimensionalen Mannigfaltigkeit R / Z mit der euklidischen Metrik. Seit C ( 0 ) = C ( 1 ) ,

D ( C ( 0 ) , C ( 1 ) ) = 0 ≠ 1 = | 1 − 0 | .

Andererseits, wenn C ( T ) ist eine geodätische Einheitsgeschwindigkeit in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ( M , G ) , dann für jeden T 0 , Es gibt ϵ > 0 so dass C | [ T 0 − ϵ , T 0 + ϵ ] ist längenminimierend und C | [ T 0 − ϵ , T 0 + ϵ ] ist eine Geodäte im Sinne des metrischen Raums. Daher der Begriff "lokale Geodäte".

geodätisch im metrischen Raum und in Mannigfaltigkeiten
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