Ich möchte einige Themen der Differentialgeometrie wie Vektorbündel, Metriken, Verbindungen, Krümmung, Geodäsie, Holonomie, charakteristische Klassen usw. studieren gutes Buch. Bitte beraten. Aus welchen anderen guten Lehrbüchern können Sie diese Themen lernen? Ich habe Punktmengentopologie und grundlegende Mannigfaltigkeitstheorie (Tangentenräume, Vektorfelder, Differentialformen, Integration und grundlegende de Rham-Theorie) studiert, habe aber keine Kenntnisse der algebraischen Topologie. Mir sind die Bücher „Fibre Bundles“ von Dale Husemoller und „Characteristic Classes“ von Milnor bekannt, aber diese erfordern möglicherweise Algebraic Topology als Voraussetzung.
Lees Bücher sind, wie in früheren Beiträgen erwähnt, in der Tat ausgezeichnet. Für eine Einführung in die Riemannsche Geometrie empfehle ich wärmstens Riemannsche Geometrie von Do Carmo. Für "Themen der Differentialgeometrie", wie Sie es nennen, gibt es ein wunderbares Buch von Peter Michor mit dem Titel Topics in Differential Geometry . Es ist ein ausgezeichnetes Buch, das genau das abdeckt, wonach Sie suchen.
Außerdem gibt es zwei sehr schöne Bücher von Morita namens Geometry of Differential Forms und Geometry of Characteristic Classes .
Ich würde sicherlich den Vorschlag unterstützen, einen Blick auf ein Buch von John Lee zu werfen. Wie Bakhoda sagt, wird Riemannian Manifolds Metriken, Verbindungen usw. behandeln, aber es gibt auch sein Buch Introduction to Smooth Manifolds, das meiner Meinung nach einer der größten mathematischen Texte ist, die je geschrieben wurden (neben Aluffi's Algebra: Chapter 0). Ich habe mein Exemplar von Smooth Manifolds rebounden lassen, weil ich es so oft benutze.
Das Buch Differential Forms in Algebraic Topology von Bott und Tu ist wirklich ziemlich brillant und wird schließlich die charakteristischen Klassen abdecken, nach denen Sie sich so sehnen. Milnors Buch über charakteristische Klassen ist gut, aber wenn ich einen Vorschlag machen darf, der etwas vom Thema abweicht, würde ich vorschlagen, dass Sie Milnors Buch über Morsetheorie lesen. Dies ist das Ender-Spiel der Mathematikbücher: Jeder Geometer sollte es lesen, es wird Sie umhauen und Ihr Leben verändern.
Ich denke, John Lees Buch Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature ist großartig für alle! Es eignet sich gut zum Erlernen der Konzepte von Metriken, Verbindungen, Krümmung, Geodäten usw. Um sie in dem Buch zu studieren, ist keine algebraische Topologie erforderlich.