Bücher zum Studium von Dirac-Operatoren, Atiyah-Singer-Index-Theorem, Heat Kernels

Ich habe längere Zeit mit den genannten Büchern von S. Rosenberg (v), P. Gilkey (iv) und Berline, Getzler und Vergne (ii) gearbeitet. Da meine Interessen eher Wärmekernen als Dirac-Operatoren galten, möchte ich aus dieser Sicht kommentieren.

Das Buch von S.Rosenberg ist ein ausgezeichneter Anfang. Es befasst sich mit den Grundlagen, obwohl der Versuch, Themen zu berühren, ziemlich kompliziert ist, daher ist es sehr gut, mit dem Eintauchen zu beginnen.

(ii) ist auch eine großartige Quelle. Aber es ist auf einem fortgeschritteneren Niveau. Ich würde empfehlen, dieses Buch im Gedächtnis zu behalten, aber später zu lesen, wenn Sie sich mit den Grundlagen sehr vertraut fühlen – selbst ich kann nicht genau definieren, was „Grundlagen“ bedeuten.

Schließlich wird (iv) sehr oft direkt zitiert und gehört zur „kanonischen“ Literatur zu den Themen rund um den Wärmekern. Auf jeden Fall lesenswert - aber erwarten Sie nicht, dass Sie es von Ende zu Ende lesen. Ich würde Ihnen empfehlen, Kapitel auszuwählen, die Sie sofort interessieren, da es eine breite Palette von Themen enthält.

edit: Wenn Sie sich ernsthaft mit diesen Themen beschäftigen, werden Sie automatisch mit der Funktionsanalyse konfrontiert, sie ist eine wichtige Grundlage. Ich hatte vorher auch keine 'weitere' Ausbildung in Funktionsanalyse, aber für mich hat es funktioniert, Teile davon 'on the fly' zu lernen und dabei konkrete Probleme zu berücksichtigen. Zögern Sie also nicht, wenn Sie noch nie einen speziellen Vortrag gehört haben. Das Buch von Rosenberg zB enthält auch sehr viel nützliches funktionsanalytisches Material.

Ich denke, die beste Einführung ist "Dirac Operators: Yesterday and Today", der Bericht einer Sommerschule, herausgegeben von Bourguignon, Branson, Chamseddine, Hijazi und Stanton. Es behandelt keine Wärmekerne, vermittelt aber ein gutes Verständnis der anderen Themen - und beginnt bei den Grundlagen; es gibt ein (kurzes) Kapitel über differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Außerdem denke ich, dass ein gutes Verständnis des Inhalts hier eine Grundvoraussetzung ist, um beispielsweise aus dem Lawson-Michelsohn-Buch viel herauszuholen.

Abgesehen von den von Ihnen genannten Voraussetzungen ist meines Erachtens nur ein gewisses Verständnis von Kohomologiegruppen erforderlich. Um mit dem Erlernen von Wärmekernen zu beginnen, hat Timur wahrscheinlich recht, wenn er sagt, dass Sie zuerst etwas PDE lernen sollten.

Ein weiteres wertvolles Buch, das nicht erwähnt wurde, ist Liviu Nicolaescus Lectures on the Geometry of Manifolds , das auf seiner Website (unter papers'n stuff ) frei erhältlich ist. Obwohl es das Atiyah-Singer-Theorem selbst nicht abdeckt, leistet es hervorragende Arbeit, einige der vorausgesetzten Materialien wie elliptische Operatoren (einschließlich Dirac-Operatoren) anzusprechen.

Ich habe das ganze Buch von Rosenberg studiert und ich kann Ihnen versichern, dass es eine sehr gute Wahl für den Anfang ist, ich habe auch einige Teile der Bücher von Gilkey und Lawson-Michelson studiert und ich kann Ihnen versichern, dass sie ziemlich fortgeschritten sind wäre schwer, mit ihnen zu beginnen. Ich denke, das Buch von Lawson-Michelson ist besser für Sie, weil es den klassischen Beweis des Indexsatzes von Atiyah-Singer behandelt, der mehr von der Geometrie abhängt, während Gilkey den analytischen Beweis des Satzes behandelt, der sehr stark von der Analyse abhängt. Wie auch immer, wenn Sie lieber das Buch von Gilkey wählen, sollten Sie unbedingt die zweite Ausgabe kaufen, da sie ziemlich besser ist als die erste. Anmerkung: Das Buch von Gilkey beginnt im Zusammenhang mit elliptischen Komplexen, der allgemeiner ist als der Zusammenhang mit Dirac-Operatoren und Dirac-Komplexen