Ein metrischer Raum ist homogen, wenn es für zwei beliebige Punkte eine globale Isometrie gibt, die ineinander abbildet. Es ist lokal homogen, wenn zwei beliebige Punkte isometrische Nachbarschaften haben, dh der Raum in ihrer Nähe „gleich aussieht“. Nehmen Sie eine offene flache Scheibe, sie ist eindeutig lokal homogen, aber es gibt keine globale Isometrie, die ihren Mittelpunkt auf einen anderen Punkt abbildet. Die Scheibe ist jedoch in der Nähe der Grenze unvollständig, und wenn wir sie vervollständigen, werden die Grenzpunkte nicht mehr „aussehen“ wie die inneren.
Kann eine vollständige zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit lokal homogen, aber nicht homogen sein? Wie wäre es mit einem geschlossenen? Ich vermute ja, aber mir fallen keine Beispiele ein.
In der Kosmologie wird lokal homogen normalerweise einfach als homogen bezeichnet, aber ich frage mich, ob dies auch für "schöne" Räume im Einklang mit dem mathematischen Sprachgebrauch steht.
Zwei beliebige Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit konstanter Schnittkrümmung sind lokal homogen (in Normalkoordinaten hat man eine explizite Beschreibung der Metrik und durch Zusammensetzen zweier Normalkoordinatensysteme um zwei verschiedene Punkte erhält man eine lokale Isometrie). Solche Räume müssen jedoch nicht homogen sein.
Betrachten Sie beispielsweise eine geschlossene orientierte Oberfläche der Gattung mit der Riemannschen Metrik konstanter Krümmung . Sie können eine kompatible, fast komplexe Struktur wählen das wird eine ehrliche komplexe Struktur sein, weil wir uns im zweidimensionalen Fall befinden. Die orientierungserhaltenden Isometrien sind insbesondere winkeltreue Abbildungen und damit Biholomorphismen von aber ein Ergebnis von Hurwitz zeigt, dass diese biholomrophische Gruppe einer solchen Oberfläche endlich ist und insbesondere kann nicht homogen sein.
anon
Noah Schweber
Konifold