Vektorfelder auf pseudo-Riemmannschen Mannigfaltigkeiten [geschlossen]

Für beliebige pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten: Die Antwort ist im Allgemeinen nein .

Nehmen Sie das Standard-Möbiusband, parametrisiert als$(t,x) \in \mathbb{R}\times [0.1]$mit$(t,0)$identifiziert mit$(-t,1)$.

Das kann man anhand der flachen Metrik überprüfen$m = -dt^2 + dx^2$ist lorentzsch und glatt auf dem Streifen.

Ein globaler, nicht verschwindender, lichtähnlicher Vektor wird eine globale, nicht verschwindende Projektion auf den haben$t$Bauteil, was aber bekanntlich beim Möbiusband nicht möglich ist.

Diese Konstruktion ist jedoch ein für Lorentzsche Mannigfaltigkeiten spezifisches Problem.

Lassen$N_p M$die Menge aller von Null verschiedenen Nullvektoren at bezeichnen$p\in M$.

• Wenn$M$ist Riemannsch,$N_pM = \emptyset$
• Wenn$M$ist lorentzianisch,$N_pM$hat mehrere verbundene Komponenten (wenn die Dimension 2 ist, gibt es 4 Komponenten, und wenn die Dimension > 2 ist, gibt es 2 Komponenten).
• Wenn$M$ist weder Riemannsch noch Lorentzsch,$N_pM$Ist verbunden.

Unsere topologische Konstruktion stützt sich vollständig auf die Nicht-Zeit-Orientierbarkeit der gegebenen Lorentz-Mannigfaltigkeit, was impliziert, dass das Fehlen eines kontinuierlichen (over$p$) Auswahl einer Komponente von$N_pM$. Für nicht-Lorentzsche pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten ist dies offensichtlich kein Problem.

Es kann jedoch weitere topologische Einschränkungen geben: zum Beispiel on$\mathbb{R}\times\mathbb{S}^2$mit$g = -dt^2 + g_{\mathbb{S}^2}$, wenn Sie ein globales Nullvektorfeld nehmen, ist seine räumliche Projektion ein nicht verschwindendes Vektorfeld$\mathbb{S}^2$, was mit dem Hairy-Ball-Theorem ausgeschlossen werden kann.