Tensoren, die aus anderen Metriken als dem Riemann-Krümmungstensor konstruiert wurden

Lassen Sie mich einen vereinfachten Überblick über den Hintergrund der Frage geben. Die ganze Geschichte findet sich in der berühmten Arbeit M. Atiyah, R. Bott, VK Patodi, „On the Heat Equation and the Index Theorem“, die die kanonische Referenz für dieses Thema ist.

Die Riemannsche Krümmung$R_{abcd}$und der Ricci-Tensor$R_{ab}$Die in der Frage erwähnten Werte werden aus der Metrik in dem Sinne konstruiert, dass sie sich in einem Koordinatenfeld befinden$(U, x^i)$sie sind durch eine universelle Formel gegeben, die die partiellen Ableitungen der Komponenten der Metrik beinhaltet. Explizite Ausdrücke finden Sie zB hier . Außerdem erweisen sich die Formeln in den partiellen Ableitungen von als polynomial$g_{a b}$aller Bestellungen$\ge 0$und die inverse Metrik$g^{a b}$. Eine solche Formel ergibt Komponenten eines Tensors, wenn sie sich unter Koordinatenänderung in tensorialer Weise umwandeln. Diese Beobachtungen führen zu dem folgenden Begriff.

Lassen$(M,g)$sei eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension$n = \dim M$.

Bestimmung 1 . Eine metrische Invariante (auch bekannt als Riemannsche Invariante oder eine Invariante der Riemannschen Struktur) ist ein Abschnitt$P(g)$eines Tensorbündels vorbei$M$, so dass für jeden Diffeomorphismus$\phi \colon M \to M$das Naturalitätseigentum gilt:

$$P(\phi^* g) = g^* P(g)$$ und in jedem Koordinatenpatch $(U,x^i)$(das ergibt auch die Koordinatentrivialisierung des Tensorbündels wo $P(g)$hat Werte), die Komponenten von $P(g)$sind durch einen universellen Polynomausdruck in der Liste der formalen Variablen gegeben $\{ g^{i j}, \partial_{k_1} \dots \partial_{k_s} g_{i j} \}$, $s \ge 0$.

Bemerkung 1 . Wenn P Werte in hat$\mathbb{R}$, haben wir eine skalare Invariante.

Bemerkung 2 . Auf ähnliche Weise können wir einen metrischen invarianten Differentialoperator definieren .

Beispiele . Der metrische Tensor$g_{a b}$und seine Umkehrung$g^{a b}$, der Riemannsche Krümmungstensor$R_{a b}{}^{c}{}_{d}$, der Ricci-Tensor$R_{a b}$sind tensorbewertete metrische Invarianten. Die Skalarkrümmung$R = g^{a b} R_{a b}$ist eine skalare Tensorinvariante. Skalare Beispiele werden in einer anderen Frage des OP erwähnt. Die Levi-Civita-Verbindung$\nabla^g$der Metrik$g$ist ein metrisch invarianter Differentialoperator. Siehe zB Jack Lee , Riemannian Manifolds. Eine Einführung in die Krümmung.

Wie @Jack Lee in den Kommentaren gezeigt hat, kann man mit der Levi-Civita-Verbindung und der Riemannschen Krümmung viele tensorwertige metrische Invarianten konstruieren, und wenn man die vollständigen Kontraktionen nimmt, erhält man viele skalare metrische Invarianten. Dies kann wie folgt formalisiert werden.

Bestimmung 2 . Eine Krümmungsinvariante ist eine Linearkombination partieller Kontraktionen der iterierten kovarianten Ableitungen (in Bezug auf die Levi-Civita-Verbindung$\nabla$der Metrik zugeordnet$g$) der Riemannschen Krümmung.

Weitere Beispiele finden Sie hier .

Die Fragestellung in der Betrachtung lässt sich nun wie folgt umformulieren.

Können alle metrischen Invarianten als Krümmungsinvarianten erhalten werden?

Die Antwort ist bekanntlich positiv . Dies ist eine Konsequenz aus dem Ersten Fundamentalsatz der klassischen Invariantentheorie. Das wichtigste geometrische Werkzeug, das verwendet wird, um dieses Problem auf ein Problem der Darstellungstheorie der orthogonalen Gruppe zu reduzieren, sind die normalen (oder geodätischen) Koordinaten . Siehe die Details in dem oben genannten Papier.

Dies gilt auch für die metrisch invarianten Differentialoperatoren.