ein injektives Eintauchen zwischen zwei kompakten Krümmern gleicher Dimension

F : M → N sei eine injektive Immersion, wo M Und N gleichdimensionale Mannigfaltigkeit ohne Begrenzung sind, müssen wir zeigen F ist eine Deckkarte.

was ich versucht habe ist, D F X : T X ( M ) → T F ( X ) ( N ) ist injektiv und als M Und N die gleiche Dimension hat, ist die Karte ein Isomorphismus von Vektorräumen. Daher F ist auch surjektives Untertauchen. Also jeder Punkt von M ist ein regelmäßiger Wert für F , jetzt als M ist kompakt F − 1 ( j ) ist endlich, allgemein denke ich F wird eine richtige Karte, oder? Nehmen Sie jetzt eine beliebige Nachbarschaft U ,von j , kann ich das nur sagen F − 1 ( U ) ist disjunkte Vereinigung von Nachbarschaften um die Punkte X 1 , … , X k Wo F − 1 ( j ) = { X 1 , … , X k } ? Und F bildet diese Nachbarschaften homöomorph ab U ? Vielen Dank für Hilfe und Korrektur meiner Antwort im Voraus.

Immersion impliziert, dass Sie eine offene Karte haben (Umkehrfunktionssatz), und dies reicht bereits aus, um die Abdeckung des Raums abzuschließen. Wenn beide Mannigfaltigkeiten verbunden sind, ist Ihre Karte tatsächlich ein Homöomorphismus.
@ user641, warum bedeutet Immersion eine offene Karte?
@jakeoung Immersion zusammen mit den gleichen Dimensionen von Domain und Codomain implizieren dies D F ist invertierbar. Der Umkehrfunktionssatz für Mannigfaltigkeiten impliziert dies dann F ist ein lokaler Diffeomorphismus. Es ist eine Eigenschaft des lokalen Diffeomorphismus, dass sie auch offene Karten sind.

Antworten (1)

Seit F eine Immersion ist, ist es ein lokaler Homöomorphismus. Es ist bekannt (und nicht schwer zu zeigen), dass ein lokaler Homöomorphismus mit der gleichen Anzahl von Elementen ungleich Null in allen Fasern eine überdeckende Abbildung ist. Wir beweisen also, dass Fasern dieselbe Kardinalität haben.

Lassen j ∈ N . Dann F − 1 ( { j } ) ist endlich, wie Sie gesagt haben. Das beweisen wir für jeden j ∈ N lokal herum j Die Anzahl der Elemente in Fasern ist konstant. Lassen j 1 , … , j M alle Elemente abgebildet werden j und lass U ich sei offen disjunkt enthaltend j ich . Wir beweisen, dass es existiert v eine offene Nachbarschaft von j so dass F − 1 ( v ) ⊂ ⋃ U ich := U . Angenommen, dies ist nicht wahr, lassen Sie v ich zählbar vor Ort sein j und lass z ich ∈ F − 1 ( v ich ) ∖ U . Dann F ( z ich ) → j . Lassen z ein Häufungspunkt von sein z ich , Dann F ( z ) = j und daher z = j J für einige J . Aber das bedeutet für N ausreichend groß z N ∈ U J ⊂ U , ein Widerspruch. Jetzt nehmen wir ab U ich so dass F | U ich : U ich → F ( U ich ) ist Diffeomorphismus ( F ist ein Eintauchen) und lassen v sei wie in der bewiesenen Behauptung. Dann Kardinalität von Fasern für X ∈ v sind konstant. Daher ist die Kardinalität der Fasern auf der angeschlossenen Komponente gleich X , die davon ausgehen, das Ganze zu sein N .

Ich bin nicht vertraut mit der Arbeit mit Fasern. Sie sind ein Konzept, über das ich in früheren Kursen nichts gelernt habe, und mein derzeitiger Professor hat sie bisher nicht erwähnt. Gibt es eine Möglichkeit, dies mit einem Argument zu zeigen, das nicht von Fasern abhängt?
ein injektives Eintauchen zwischen zwei kompakten Krümmern gleicher Dimension
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