Das Innere einer Mannigfaltigkeit mit Rand ist eine Mannigfaltigkeit

Ich lese Lees Einführung in topologische Mannigfaltigkeiten und versuche, die folgende Behauptung zu beweisen:

Satz 2.58. Wenn M ist dann eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einem Rand Int M ist eine offene Teilmenge von M , die selbst eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand ist.

Wo Mannigfaltigkeiten mit einer Grenze in Form von Diagrammen definiert sind, die offenen Mengen in zugeordnet sind H N = R N − 1 × [ 0 , ∞ ) . Ich muss dies beweisen, ohne die Invarianz der Grenze zu verwenden (dh dass die Mannigfaltigkeitsgrenze und das Innere disjunkt sind.

Mein bisheriger Versuch bestand darin, Diagramme zu erstellen ( U ich , φ ich ) diese Abdeckung M und die Identifizierung von Punkten, auf die abgebildet wird ∂ H N mit ∂ M ; jedoch kann ich nicht verwenden Int M = M ∖ ∂ M ohne sich auf die Invarianz der Grenze zu berufen. Ich würde Hinweise oder Teilantworten vorziehen, die vorschlagen, wie ich mit vollständigen Beweisen fortfahren sollte.

Warum wurde das Tag in Differentialgeometrie geändert? Ich bin etwas neu in der Untersuchung von Mannigfaltigkeiten, aber ich glaube, dass sich die Differentialgeometrie auf die Untersuchung glatter oder Riemannscher Mannigfaltigkeiten konzentriert. Meine Frage bezieht sich auf topologische Mannigfaltigkeiten, also ist die algebraische Topologie nicht passender?

Antworten (1)

Es ist schwer, einen Hinweis auf dieses Problem zu geben, ohne die ganze Sache zu verraten. Per Definition, Int M ist die Teilmenge von allem X ∈ M für die es ein Diagramm gibt ( U ich , ϕ ich ) so dass X ∈ U ich und so das ϕ ich ( U ich ) ⊂ R N − 1 × ( 0 , ∞ ) . Diese Existenzeigenschaft gilt natürlich auch für alle j ∈ U ich , mit genau demselben Diagramm ( U ich , ϕ ich ) , und deshalb U ich ⊂ Int ( M ) .

Oh. Dadurch wird gezeigt, dass Int M offen ist, da jeder Punkt eine offene Nachbarschaft hat, und lokal euklidisch, da jede dieser Nachbarschaften ein Bild hat, das in dem offenen oberen Halbraum enthalten ist. Richtig?
Das ist richtig.
Großartig. Vielen Dank für Ihre Hilfe Lee
@Lee Mosher Hallo Professor in Lees Buch, das Innendiagramm ist nur zum Lassen definiert ϕ ich ( U ich ) ein offener Satz sein R N nicht als Halbflugzeug dh ϕ ich ( U ich ) ⊂ R N − 1 × ( 0 , ∞ ) so wie du es hier getan hast. Aber das macht nichts, da wir immer übersetzen können ϕ ich ( U ich ) in die Halbebene Richtig?
Das Innere einer Mannigfaltigkeit mit Rand ist eine Mannigfaltigkeit
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