So berechnen Sie gleichmäßig beabstandete Punkte auf einer Evolventenkurve

Question

So berechnen Sie gleichmäßig beabstandete Punkte auf einer Evolventenkurve

MajkelTMB

Mein Problem ist, dass ich gleich beabstandete Punkte auf einer Evolventenkurve berechnen möchte. Von Anfang an lauten die parametrischen Gleichungen der Evolventenkurve:

X (T) = R \cdot Sünde (T) - R \cdot T \cdot \cos (T)

$x(t) = r \cdot \sin(t) - r \cdot t \cdot \cos(t)$

j (T) = R \cdot \cos (T) + R \cdot T \cdot Sünde (T)

$y(t) = r \cdot \cos(t) + r \cdot t \cdot \sin(t)$

Wo $t = \lt0:\frac{t_{\max}}{n-1}:t_{\max} \gt$ ist der Parameter innerhalb eines bestimmten Intervalls und $r$ ist der Radius eines Kreises. Da ich das brauche, um das Zahnprofil zu zeichnen $t_{\max}$ kann berechnet werden als:

T_{max} = \sqrt{\frac{R_{A}^{2} - R^{2}}{R^{2}}}

$t_{\max} = \sqrt{\frac{r_{a}^2 - r^2}{r^2}}$

Wo $r_{a}$ ist ein Zusatzkreis.

Evolventenbild

Die blauen und schwarzen Kreise sind $r$ Und $r_{a}$ jeweils werden kleine rote Kreise berechnet $n = 10$ ... Und was ich erhalten möchte, sind gleichmäßig verteilte Punkte (grüne Punkte) anstelle von Punkten mit zunehmendem Abstand. Gibt es eine Möglichkeit, dies zu tun? Was ich in einem Buch finden konnte, war, dass jemand ein kubisches Segment mit Hermite-Interpolationsfunktionen verwendet hat ... Ich bin damit nicht wirklich vertraut, und vielleicht kennt jemand eine andere Lösung. Danke.

N. Bach

Wenn Sie "gleichmäßig verteilt" sagen, meinen Sie wohl den gleichen Abstand entlang der (roten) Kurve?

MajkelTMB

Ja, das meinte ich.

Antworten (1)

So berechnen Sie gleichmäßig beabstandete Punkte auf einer Evolventenkurve

Wenn Sie "gleichmäßig verteilt" sagen, meinen Sie wohl den gleichen Abstand entlang der (roten) Kurve?

Intelligente pauca · Answer 1

Um einen Punkt mit gleichem Abstand zu erhalten, sollten Sie die Pfadlänge verwenden $s$ entlang der Kurve als Parameter statt $t$ . Eine einfache Rechnung ergibt:

S = \int_{0}^{T} \sqrt{D X^{2} + D j^{2}} = \int_{0}^{T} R τ D τ = \frac{1}{2} R T^{2},

$s=\int_0^t\sqrt{dx^2+dy^2}=\int_0^tr\tau\,d\tau={1\over2}rt^2,$ machen Sie daher die Ersetzung:

T = \sqrt{\frac{2 S}{R}}

$t=\sqrt{2s\over r}$ in Ihre Gleichungen, berechnen

s_{max} = (1 / 2) r t_{max}^{2}

$s_\max=(1/2)rt_\max^2$ und verwenden

s

$s$ anstatt

t

$t$ um deine Punkte zu bekommen.

So berechnen Sie gleichmäßig beabstandete Punkte auf einer Evolventenkurve

MajkelTMB

N. Bach

MajkelTMB

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Intelligente pauca

MajkelTMB

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