Explizite nichttriviale Beispiele für die Parametrisierung der Bogenlänge

Nach einiger Zeit stieß ich auf ein paar weitere Beispiele, die ich der Liste hinzufügen konnte.

---

Die logarithmische Spirale ,

$$\alpha(t) = (e^t\cos t, e^t\sin t)$$ was hat $\|\alpha'(t)\|=\sqrt{2}\,e^t$und hat somit die Bogenlänge $$s = \int_0^t \|\alpha'(u)\|\,\mathrm{d}u =\int_0^t \sqrt{2}\,e^u \,\mathrm{d}u = \sqrt{2}\,(e^t-1)$$ und so $t=\ln\left(\frac{s}{\sqrt{2}}+1\right)$was uns die Kurve neu parametrieren lässt als $$\tilde\alpha(s)=\left( \left(\frac{s}{\sqrt{2}}+1\right)\cos\left(\ln\left(\frac{s}{\sqrt{2}}+1\right)\right), \left(\frac{s}{\sqrt{2}}+1\right)\sin\left(\ln\left(\frac{s}{\sqrt{2}}+1\right) \right)\right)$$

---

Die Wendel ,

$$\beta(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$$ was hat $\|\beta'(t)\| = \sqrt{a^2+b^2}$und hat somit die Bogenlänge $$s = \int_0^t \|\beta'(u)\|\,\mathrm{d}u\int_0^t \sqrt{a^2+b^2}\,\mathrm{d}u = t\sqrt{a^2+b^2}$$ und so $t=\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}$was uns die Kurve neu parametrieren lässt als $$\tilde{\beta}(s) = \left( a\cos\left(\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}\right), a\sin\left(\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}\right), \frac{bs}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$$

---

Eine helixartige Kurve innen in einem flachen Torus ,

$$\gamma(t) = (a\cos At, a\sin At, b\cos Bt, b\sin Bt)$$ was hat $\|\gamma'(t)\|=\sqrt{a^2A^2+b^2B^2}$und hat somit die Bogenlänge $$s = \int_0^t \|\gamma'(u)\|\,\mathrm{d}u\int_0^t \sqrt{a^2A^2+b^2B^2}\,\mathrm{d}u = t\sqrt{a^2A^2+b^2B^2}$$ und so $t=\frac{s}{C}$Wo $C = \sqrt{a^2A^2+b^2B^2}$. Dies lässt uns die Kurve neu parametrieren als $$\tilde\gamma(s)=\left( a\cos\frac{As}{C}, a\sin\frac{As}{C},b\cos\frac{Bs}{C},b\sin\frac{Bs}{C}\right)$$

Eine schöne einfache ist Neiles Parabel ,

$$y = \frac{2}{3}ax^{3/2}.$$ Findet man $dy/dx = a\sqrt{x}$, also das Bogenlängenintegral $$\int_0^X \sqrt{1+a^2x} \, dx = \frac{2}{3a^2}\left((1+a^2X)^{3/2}-1 \right).$$

---

Man kann auch die gewöhnliche Parabel machen,

$$x=at^2 \qquad y=2at,$$ die ein Bogenlängenintegral hat $$\int_0^T 2a\sqrt{1+t^2} \, dt = aT\sqrt{1+T^2} +a \arg\sinh{T},$$ das ist alles andere als das gleiche wie das Spiralgehäuse des Archimedes. Dies ist wahrscheinlich nur durch Umkehrung der Reihe umkehrbar, was nur bis zu einer der Singularitäten auf der rechten Seite funktioniert.

---

Eine andere einfache ist die Traktrix , die parametrische Gleichungen hat

$$x = a(t-\tanh{t}), \qquad y=a\operatorname{sech}{t},$$ und die Bogenlänge ist gegeben durch $$\int_0^T a\tanh{t} \, dt = a\log{\cosh{T}},$$ was leicht umzukehren ist.

Ich bin gerade heute Morgen bei Area of ​​the surface from curve auf eine gestoßen .

Wenn$y=\cosh(4x)/4, x\in [-1,1]$, Dann

$$L=\int ds=\int_{-1}^1 \sqrt{1+(y')^2}\ dx=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\sinh^2(4x)}\ dx=\int_{-1}^1 \cosh(4x)\ dx=\frac{\sinh(4)}{2}$$

Hier ist ein weiteres Beispiel, die Parabel$y=1-x^2, x\in [-1,1]$

$$L=\int ds=\int_{-1}^1 \sqrt{1+(y')^2}\ dx=\int_{-1}^1 \sqrt{1+4x^2}\ dx=\sqrt{5}+\frac{\sinh^{-1}(2)}{2}$$

Und hier ist eine parametrische Form in der komplexen Ebene,

$$z=\cos^3(t)+i\sin^3(t), t\in [0,\pi/2]\\ s=\int|\dot z|dt\\ \dot z=3[-\cos^2(t)\sin(t)+i\sin^2(t)\cos(t)]\\ |\dot z|=\sqrt{9[\cos^4(t)\sin^2(t)+\sin^4(t)\cos^2(t)]}=3\cos(t)\sin(t)$$

Dann

$$s=3\int_0^{\pi/2} \cos(t)\sin(t)\ dt=\frac{3}{2}$$