Irgendeine Interpretation für die Tatsache, dass Schwerpunkt = optimaler Punkt für die Maximierung des Volumens eines solchen Quaders ist?

(Visualisierung eines Musterkoffers über das Bild unten)

Betrachten Sie ein Flugzeug X A + j B + z C = 1 so dass es mit der Achse bei schneidet ( A , 0 , 0 ) , ( 0 , B , 0 ) Und ( 0 , 0 , C ) , A , B , C > 0 . Betrachten Sie nun die Maximierung des Volumens eines solchen Quaders, der sich im ersten Oktanten befindet, mit 3 Flächen darin X = 0 , j = 0 , z = 0 , und einen Scheitelpunkt in der oben erwähnten Ebene. Algebraisch erhalten wir den optimalen Scheitelpunkt immer im Schwerpunkt des Dreiecks { ( A , 0 , 0 ) , ( 0 , B , 0 ) Und ( 0 , 0 , C ) } in der oben erwähnten Ebene.

Irgendeine mögliche Interpretation hinter dieser Beziehung? Ich verstehe die Logik in Algebra, aber ich kann die Intuition nicht geometrisch herausfinden. Die Frage klingt vage, weil ich nicht viel Intuition hinter dieser Beziehung habe, also versäume ich es, bestimmte Wörter zu verwenden, um meine Frage zu formulieren. Es scheint ein interessanter Zufall zu sein, und ich möchte wissen, ob dahinter eine nicht-algebraische Interpretation steckt.

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blaue Linie, die das Flugzeug anzeigt. Rote Linie, die den Quader anzeigt. Grün zeigt den Scheitelpunkt an.

Bitte erläutern Sie Ihr spezifisches Problem oder geben Sie zusätzliche Details an, um genau hervorzuheben, was Sie benötigen. So wie es derzeit geschrieben steht, ist es schwer, genau zu sagen, was Sie fragen.
Eine Sache, die Sie beachten können, ist, dass Sie mit dem Fall umgehen können A = B = C = 1 , was mental einfacher erscheint, dann bekommst du alle anderen Fälle durch gleichmäßiges Strecken in eine Richtung auf einmal. Gleichmäßige Dehnung des Dreiecks (Multiplikation aller X Koordinaten, sagen wir, um einen Faktor k ) verschiebt auch den Schwerpunkt entsprechend, und die gleichmäßige Dehnung eines Quaders erhöht sein Volumen entsprechend k -falten, sodass sich der maximale Quader entsprechend dehnt.
@Community: Nein, das ist überhaupt nicht schwer zu sagen. Die Frage ist ganz klar.

Antworten (1)

Betrachten Sie das einfachere Problem, das maximale Volumen eines eingeschriebenen Quaders (in der gleichen Weise wie das ursprüngliche Problem eingeschrieben) im ersten Oktanten des Diagramms zu finden

X + j + z = 1
Aufgrund der Symmetrie würde man intuitiv die Hypothese aufstellen, dass dies der Fall wäre, wenn der grüne Scheitel des Quaders in der Mitte der dreieckigen Fläche wäre und der Quader ein Würfel wäre. Dies kann natürlich mit AM-GM nachgewiesen werden ( X j z ≤ ( X + j + z 3 ) 3 = 1 27 ).

Da Volumenverhältnisse bei affinen Transformationen erhalten bleiben, folgt daraus, dass, wenn wir die Ebene so erweitern, dass sie mit der Gleichung übereinstimmt X A + j B + z C = 1 , dann sollte der maximal einbeschriebene Würfel der Anwendung derselben affinen Transformation auf den Würfel mit Seitenlänge entsprechen 1 3 .

Wir wissen aber auch, dass die Lage des Schwerpunkts nach einer affinen Transformation erhalten bleibt. Daraus folgt, dass dieser Würfel mit maximalem Volumen auch den Schwerpunkt als Scheitelpunkt enthält, unabhängig von der Gleichung der Ebene.

Irgendeine Interpretation für die Tatsache, dass Schwerpunkt = optimaler Punkt für die Maximierung des Volumens eines solchen Quaders ist?
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