Triple Integral - Meine Antwort scheint zu groß

Question

Triple Integral - Meine Antwort scheint zu groß

3d
Geometrie
Mathematik
mehrfach ganzzahlig
bestimmte Integrale
Multivariable Infinitesimalrechnung

Stats_ug

In Betracht ziehen $R=[(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 | 1 \leq x^2 + y^2 \leq 16, 0 \leq z \leq y+4]$ . Berechnen Sie dann das Integral

ICH = \int_{R} (X - j) D v

$I=\int_R(x-y)dV$

Ich dachte an die Region und fand das so $€ \leq x^2 + y^2 \leq 16,$ wir haben $x \in [1,4], y \in [1,4]$ . Dann können wir haben $z \in [0,8]$

Dann änderte ich das Integral zu $\int_1^4 \int_1^{16-x^2}\int_0^{y+4}(x-y)dzdydx$ , was ich fand $\frac{93461}{70} \approx 1335.16$

Wenn ich jedoch die Region vergrößern soll, sagen wir, den Kreis nehmen $x^2+y^2=16 \ (a=4)$ und macht es zu einem Sphäroid mit $z=8 \ (c=4)$ , dann würde ich Volumen bekommen $\frac{4}{3} \pi 4^24=\frac{256}{3}\pi \approx 268.08$

Daher weiß ich, dass meine Antwort viel zu groß ist, also habe ich wahrscheinlich die falschen Integrationsgrenzen gefunden?

Kavi Rama Murthy

Die Grenze für

y

$y$ sind falsch. Außerdem berechnen Sie kein Volumen. Das Integral von

x - y

$x-y$ über einen größeren Bereich kann kleiner sein.

Antworten (2)

Triple Integral - Meine Antwort scheint zu groß

Die Grenze für $y$ sind falsch. Außerdem berechnen Sie kein Volumen. Das Integral von $x-y$ über einen größeren Bereich kann kleiner sein.

Mathe-Liebhaber · Answer 1

Sie müssen Ihr Integral aufteilen, wenn Sie es in kartesischen Koordinaten aufstellen. Angenommen, der Bereich liegt zwischen zwei Radiuszylindern $1$ Und $4$ von zwei Ebenen begrenzt $z= 0$ Und $z = y + 4$ , würde ich Zylinderkoordinaten empfehlen.

In zylindrischen Koordinaten, $x = r \cos \theta, y = r\sin\theta, z= z$ .

Also haben wir,

$0 \leq z \leq 4 + r \sin\theta$
$1 \leq r \leq 4$
$0 \leq \theta \leq 2\pi$

Das Integral wird also zu

$\displaystyle \int_0^{2\pi} \int_1^4 \int_0^{4 + r\sin\theta} r^2 (\cos\theta - \sin\theta) ~ dz ~ dr ~ d\theta$

Aber das musst du beachten $x$ eine ungerade Funktion und die Symmetrie des Bereichs um die YZ-Ebene ist, wäre sein Integral über den Bereich Null. Sie sollten also nur das Integral von auswerten $- y$ .

Wenn Sie es in kartesischen Koordinaten einrichten, sehen Sie sich die Projektion der Region in der xy-Ebene an.

Die Grenzen von $z$ ist einfach, wie von Ihnen erwähnt. Aber Grenzen $x$ Und $y$ sind unterschiedlich für $|x| \leq 1$ und für $1 \leq |x| \leq 4$ . Einfacher wäre es, über beide Zylinder getrennt auszuwerten und dann zu subtrahieren. Auch hier können Sie die Integration vermeiden $x$ wie oben erwähnt.

$\displaystyle I_1 = \int_{-1}^1 \int_{ - \sqrt{1-x^2}}^{ - \sqrt{1-x^2}} \int_0^{y+4} (x-y) ~ dz ~ dy ~ dx$

$\displaystyle I_2 = \int_{-4}^4 \int_{ - \sqrt{16-x^2}}^{ \sqrt{16-x^2}} \int_0^{y+4} (x-y) ~ dz ~ dy ~ dx$

und schlussendlich, $I = I_2 - I_1$

Danke, das macht das Problem deutlicher. Wir haben gerade erst damit begonnen, das Integral in Polarkoordinaten umzuwandeln, also dachte ich daran, es zu verwenden. Interessant zu sehen, dass dies mit kartesischen Methoden möglich ist , aber viel komplizierter ist.
@Stats_ug gerne geschehen. Es ist auch klar, warum Integral von $x$ kann vermieden werden?

Jose Carlos Santos · Answer 2

Verwenden Sie Zylinderkoordinaten. Ihr Integral wird

\int_{0}^{2 π} \int_{1}^{4} \int_{0}^{R Sünde (θ) + 4} R^{2} (\cos (θ) - Sünde (θ)) D z D R D θ,

$\int_0^{2\pi}\int_1^4\int_0^{r\sin(\theta)+4}r^2\bigl(\cos(\theta)-\sin(\theta)\bigr)\,\mathrm dz\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta,$ was gleich ist:

\begin{matrix} \int_{0}^{2 π} \int_{1}^{4} R^{2} (\cos (θ) - Sünde (θ)) (R Sünde (θ) + 4) D R D θ = \\ = \int_{0}^{2 π} (- \frac{255}{4} {Sünde}^{2} (θ) - 84 Sünde (θ) + 84 \cos (θ) + \frac{255}{4} Sünde (θ) \cos (θ)) D θ = - \frac{255}{4} π . \end{matrix}

$\begin{multline}\int_0^{2\pi}\int_1^4r^2 (\cos (\theta )-\sin (\theta )) (r \sin (\theta )+4)\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta=\\=\int_0^{2\pi}\left(-\frac{255}{4} \sin ^2(\theta )-84 \sin (\theta )+84 \cos (\theta )+\frac{255}{4} \sin (\theta ) \cos (\theta )\right)\,\mathrm d\theta=-\frac{255}4\pi.\end{multline}$

Danke, wären die Grenzen von r nicht 1 und 4, da wir in der xy-Ebene mit einer Scheibe mit Radius 4 und Radius 1 'ausgeschnitten' arbeiten. Daher das Integral bilden $\approx -200.277$
@MathLover In der Tat. Ich habe meine Antwort bearbeitet. Danke schön.

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