Integrierendes Massenelement einer Kugelscheibe

Question

Integrierendes Massenelement einer Kugelscheibe

Integration
Mathematik
mehrfach ganzzahlig
Polar Koordinaten
bestimmte Integrale
Multivariable Infinitesimalrechnung

Nakshatra Gangopadhay

Angenommen, wir haben eine feste Scheibe mit gleichmäßiger Oberflächendichte $\sigma$ , und Radius $a$ . Ich möchte seine Masse durch Integration finden. Normalerweise tun wir dies nach der folgenden Methode:

Wir setzen den Ursprung eines Polarkoordinatensystems in die Mitte der Scheibe. Dann nehmen wir ein kleines Flächenelement in einiger Entfernung $r$ aus diesem Ursprung $O$ . Lassen $dm$ sei die Masse dieses Elements. In Polarkoordinaten wissen wir $dm=\sigma dxdy=\sigma rdrd\psi$ .

Somit

M = \int D M = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{A} σ R D R D ψ = σ π A^{2}

$M=\int dm=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\sigma rdrd\psi = \sigma\pi a^2$

Was ich jedoch tun möchte, ist, meinen Ursprung an einem Punkt auf dem Umfang der Scheibe wie folgt zu machen:

Nun möchte ich die gleiche Integration durchführen. Was wäre das neue Massenelement und die Integrationsgrenzen, die mir genau die gleiche Antwort geben würden?

Meine Vermutung ist, dass das Massenelement immer noch vorhanden wäre $dm=\sigma rdrd\psi$ aber ich bin mir nicht sicher. Die Grenzen der Integration wären jedoch sehr unterschiedlich. Kann mir jemand zeigen, was das wäre und wie man es findet, so dass meine endgültige Antwort genau die gleiche ist.

Eine andere Vermutung ist, dass die Grenzen von $d\psi$ sind symmetrisch, zwischen einigen $[-c,c]$ Wo $c$ ist eine Konstante oder vielleicht eine Funktion von $r$ so dass $c=c(r)$ . Ich denke jedoch, dass es symmetrisch ist, obwohl ich die Form oder die Werte nicht kenne.

(Anmerkung: Ich brauche $d\psi$ Und $dr$ die Variablen der Integration sein, nicht $dx$ , $dy$ oder irgendetwas anderes. )

Jede Hilfe wäre sehr willkommen.

Ninad Munshi

Du hast Recht, das Differential ändert sich nicht. Können Sie sich eine Gleichung für einen Kreis mit Radius R vorstellen, der den Ursprung tangiert, wie die im kartesischen? Kannst du diese Gleichung in Polarkoordinaten umwandeln?

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Integrierendes Massenelement einer Kugelscheibe

Du hast Recht, das Differential ändert sich nicht. Können Sie sich eine Gleichung für einen Kreis mit Radius R vorstellen, der den Ursprung tangiert, wie die im kartesischen? Kannst du diese Gleichung in Polarkoordinaten umwandeln?

Jose Carlos Santos · Answer 1

Sie haben es jetzt mit der Scheibe zu tun, die auf zentriert ist $(a,0)$ mit Radius $a$ , das heißt, mit der Festplatte $\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid(x-a)^2+y^2\leqslant a^2\}$ . Aber

\begin{matrix} (X - A)^{2} + j^{2} ⩽ A^{2} & ⟺ X^{2} + j^{2} ⩽ 2 A X \\ ⟺ R^{2} ⩽ 2 A R \cos (θ) . \end{matrix}

$\begin{array}\,(x-a)^2+y^2\leqslant a^2&\iff x^2+y^2\leqslant2ax\\&\iff r^2\leqslant2ar\cos(\theta).\end{array}$ Sie rechnen also

\begin{aligned} \int_{- π^{/} 2}^{π / 2} \int_{0}^{2 A \cos (θ)} σ R D R D θ & = \int_{- π^{/} 2}^{π / 2} 2 A^{2} σ \cos^{2} (θ) D θ \\ = π A^{2} σ . \end{aligned}

$\begin{align}\int_{-\pi^/2}^{\pi/2}\int_0^{2a\cos(\theta)}\sigma r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta&=\int_{-\pi^/2}^{\pi/2}2a^2\sigma\cos^2(\theta)\,\mathrm d\theta\\&=\pi a^2\sigma.\end{align}$

Integrierendes Massenelement einer Kugelscheibe

Nakshatra Gangopadhay

Ninad Munshi

Antworten (1)

Jose Carlos Santos

Finden Sie die geschlossene Form für das Vierfachintegral

∬D(x2−y2)dxdy∬D(x2−y2)dxdy\iint_D(x^2-y^2)dxdy mit D umschlossen von y=2xy=2xy=\frac2x, y=4xy=4xy=\frac4x, y=xy=xy=x, y=x−3y=x−3y=x-3?

Doppelintegral ∫01∫01(xy)s−log(xy)√dxdy∫01∫01(xy)s−log⁡(xy)dxdy\int\limits_0^1\!\!\int\limits_0^1\frac {(xy)^s}{\sqrt{-\log(xy)}}\,dx\,dy

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