Von Single-Variable Integration zu Multivariable Integration: Was ist aus dem „Problem“ „Signed/Net Area“ geworden?

Ich erinnere mich, dass wir beim Erlernen der Integration mit einer Variablen gelernt haben, dass es sich um eine Funktion handelt F ( X ) negativ ist, dann ergibt das bestimmte Integral das Negative der Fläche des Rechtecks. Diese Tatsache machte es so, es sei denn, die Funktion j = F ( X ) steht immer über der X -Achse ist der durch das bestimmte Integral berechnete Wert die vorzeichenbehaftete oder Nettofläche und nicht die Gesamtfläche . Dies liegt daran, dass das bestimmte Integral die Fläche dazwischen berechnet j = F ( X ) und das X -Achse, die für die Teile dazwischen negativ ist j = F ( X ) und das X -Achse wann j = F ( X ) ist unterhalb der X -Achse und positiv für die Teile dazwischen j = F ( X ) und das X -Achse wann j = F ( X ) ist über dem X -Achse, was zu einer gewissen Aufhebung zwischen; somit haben wir den vorzeichenbehafteten oder Nettobereich .

Die Fläche ist immer eine nichtnegative Größe. Die Riemann-Summennäherungen enthalten Terme wie z F ( C k ) Δ X k die den Flächeninhalt eines Rechtecks ​​angeben, wenn F ( C k ) ist positiv. Wenn F ( C k ) negativ ist, dann das Produkt F ( C k ) Δ X k ist das Negative der Fläche des Rechtecks. Wenn wir solche Terme für eine negative Funktion addieren, erhalten wir das Negative der Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse. Wenn wir dann den absoluten Wert nehmen, erhalten wir die richtige positive Fläche.

(Hass 285)

Hass, Joel R., Christopher Heil, Maurice Weir. Thomas' Calculus, 14. Auflage. Pearson.

Wenn wir die Gesamtfläche finden wollten , müssten wir die Funktion aufbrechen j = F ( X ) je nachdem, ob es unter oder über dem lag X -Achse, und führen Sie dann viele Einzelvariable-Integrale für jeden aufgebrochenen Bereich durch, wobei Sie den Absolutwert dieser bestimmten Integrale nehmen, die unter dem liegen X -Achse:

Berechnen der Fläche des durch den Graphen einer Funktion begrenzten Bereichs j = F ( X ) und der x-Achse, wenn die Funktion sowohl positive als auch negative Werte annimmt, müssen wir darauf achten, das Intervall aufzuteilen [ A , B ] in Teilintervalle, in denen die Funktion ihr Vorzeichen nicht ändert. Andernfalls erhalten wir möglicherweise eine Stornierung zwischen positiv und negativ vorzeichenbehafteten Bereichen, was zu einer falschen Summe führt. Die korrekte Gesamtfläche erhält man durch Addieren des Absolutwerts des bestimmten Integrals über jedes Teilintervall wo F ( X ) ändert das Vorzeichen nicht. Unter dem Begriff "Fläche" wird diese Gesamtfläche verstanden.

(Hass 285)

Hass, Joel R., Christopher Heil, Maurice Weir. Thomas' Calculus, 14. Auflage. Pearson.

Anschließend lernte ich multivariable Integrale (Doppel-, Tripel) und verwandte Konzepte, wie verschiedene Parametrisierungen/Transformationen (Zylinderkoordinaten, Kugelkoordinaten), Greens Theorem, Stoke's Theorem, The Divergence Theorem usw.

Beim Erlernen dieser fortgeschritteneren Konzepte wurde dieses Problem mit negativen Funktionswerten nie wieder erwähnt. Allerdings nervt mich das schon seit einiger Zeit, da dies meines Wissens im multivariablen Fall immer noch ein Problem wäre; aber im Gegensatz zu dem Fall mit einer Variablen gab es keine Diskussion darüber oder "wie man damit umgeht", wie es beim Vorzeichen-/Netzbereich der Fall war.

Ich würde es sehr begrüßen, wenn sich die Leute bitte die Zeit nehmen könnten, zu erklären, wie das oben erwähnte "Problem" negativer Funktionswerte im Fall der Integration mit einer Variablen ins Spiel kommt, wenn wir uns mit diesen fortgeschritteneren Konzepten und der Integration mit mehreren Variablen befassen.

Antworten (1)

Der Grund liegt in erster Linie im Fokus: Sie können Integrale verwenden, um Flächen und Volumen zu berechnen, und Sie haben die gleiche Situation ∫ F erzeugt eine Zahl, die den Bereich unterhalb der Achse als negativ einschließt (wie es sein muss, da das Integral linear ist: ∫ ( − F ) = − ∫ F ). Aber:

  1. Meistens sind die Dinge in höheren Dimensionen so eingerichtet, dass, wenn Sie ein Volumen berechnen, es eine relativ einfache Form ist, bei der die Flächen durch eine Slicing-Technik berechnet werden, um es in ein iteriertes Integral umzuwandeln. Im Gegensatz zum eindimensionalen Fall ändert sich in diesen Beispielen normalerweise nicht, welches Diagramm "oben" liegt (und wenn dies der Fall wäre, müssten Sie dasselbe Verfahren anwenden, um es in Fälle aufzuteilen); Es ist diese Frage der "Auf-Oberseite", die überhaupt "bezeichneten" Bereich ergibt, und warum ∫ | F | gibt den tatsächlichen Bereich dazwischen an j = F ( X ) Und j = 0 : es zwingt F immer die oberste Funktion zu sein, wenn man so will.

  2. Noch häufiger werden Integrale nicht zur Berechnung von Volumen verwendet, sondern für andere Größen wie Mittelwerte und Kraft und Arbeit und Fluss, die alle die Integration als lineare Operation und nicht nur als Gadget zur Flächenmessung verwenden möchten. Die Linearität wird fast allgemein als wesentlicher für die Definition angesehen als die Flächenmessung (man kann Mathematiker finden, die davon schwärmen, wie sehr sie es lieben, dass die Erwartung linear ist, was ein Beispiel für dieses Phänomen ist). ∫ F ist mathematisch viel wichtiger als ∫ | F | . Natürlich, ∫ | F | misst immer noch die (vorzeichenlose) Fläche unter einer Kurve, aber dies ist eine winzige Ecke des Integrationsuniversums. Wenn Sie sich in fortgeschrittenere Bereiche begeben, berechnen Sie Volumina einfach nicht so oft, wie Sie die anderen Anwendungen des Integrals verwenden.

Natürlich hat man in höheren Dimensionen auch das Problem der Orientierung im Differential: Bringt man seine Integrationsvariablen beim Variablenwechsel in eine andere Reihenfolge, muss das Vorzeichen der Jacobi-Determinante korrigiert werden (vielleicht hat man gesagt, man solle einfach die absoluter Wert: Dies funktioniert zwar, es wird jedoch übersehen, warum das Problem überhaupt auftritt). Eine solche Ungleichheit lässt sich am besten mit Differentialformen erklären, die im Wesentlichen als „Dinge, die man integrieren kann“ konstruiert sind, aber diese lustige Orientierungseigenschaft in ihre Definition eingebaut haben (es erlaubt einem auch, sich keine Sorgen mehr darüber zu machen, ständig nach außen gerichtete Normalen zu finden). . Das eindimensionale Analogon dazu ist die Konvention that ∫ A B F = − ∫ B A F .

Danke für die Klarstellung. Wenn Sie sagen, dass Differentialformen es uns ermöglichen, uns nicht mehr darum zu sorgen, ständig nach außen gerichtete Normalen zu finden, spielen Sie damit auf Dinge an wie ∮ C F ⋅ N   D S = ∮ C M   D j − N   D X für den Außenfluss?
Ja, der Divergenzsatz und der Satz von Stokes sind beide Beispiele für ein allgemeines Ergebnis für Differentialformen, das verwirrenderweise oft auch als Satz von Stokes bezeichnet wird (beachten Sie das vollständige Fehlen von Normalenvektoren in ∫ ∂ Ω ω = ∫ Ω D ω ).
Ich weiß es zu schätzen, dass Sie sich die Zeit genommen haben, dies zu klären.
Sehr aufschlussreich, obwohl ich nicht alles verstanden habe. Ich hatte keine Ahnung, dass es einen Grund dafür gab ∫ B A F = − ∫ A B F , Ich dachte immer ∫ B A F war eine "Kurzschreibweise" für Negativ von ∫ A B F . Wo kann ich mehr darüber lesen? Was soll ich suchen?
"Äußerer Kalkül" oder "Integration mit Differentialformen" sind vernünftige Ausgangspunkte; Früher waren verständliche Einführungen eher dünn gesät, aber das hat sich inzwischen sicher geändert. Die andere Sichtweise ist über Ketten, en.wikipedia.org/wiki/… , obwohl es noch schwieriger ist, eine Einführung zu finden, die nicht geschrieben wurde und erwartet, dass Sie bereits etwas algebraische Topologie kennen.
Von Single-Variable Integration zu Multivariable Integration: Was ist aus dem „Problem“ „Signed/Net Area“ geworden?
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