Prüfen, ob ∫B(0,r)∫B(0,r)ln(∥x−y∥)dxdy>0∫B(0,r)∫B(0,r)ln⁡(‖x−y‖) dxdy>0\int_{B(0,r)} \int_{B(0,r)} \ln(\|xy\|)dxdy > 0?

Notieren Sie sich das zunächst

$$\begin{align} \int \limits_0^{2\pi} \int \limits_0^{2\pi} f(\cos(t_1 - t_2)) \, \mathrm{d} t_1 \mathrm{d} t_2 &= \int \limits_0^{2\pi} \int \limits_{-t_2}^{2\pi-t_2} f(\cos(s)) \, \mathrm{d} s \, \mathrm{d} t_2 = \int \limits_0^{2\pi} \int \limits_0^{2\pi} f(\cos(s)) \, \mathrm{d} s \, \mathrm{d} t_2 \\ &= 2 \pi \int \limits_0^{2\pi} f(\cos(s)) \, \mathrm{d} s = 4 \pi \int \limits_0^\pi f(\cos(s)) \, \mathrm{d} s \end{align}$$ gilt für alle$f$für die das Integral existiert. Dies erlaubt uns, Ihr Integral umzuschreiben als $$\begin{align} I (r) &\equiv \int \limits_{\mathrm{B}(0,r)} ~ \int \limits_{\mathrm{B}(0,r)} \ln(\lVert x - y \rVert) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y = 2 \pi \int \limits_0^r \int \limits_0^r \int \limits_0^{\pi} \ln(r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(s)) r_1 r_2 \, \mathrm{d} s \, \mathrm{d} r_1 \mathrm{d} r_2 \\ &= 2 \pi \int \limits_0^r \int \limits_0^r \int \limits_0^{\pi} \left[2\ln(\max(r_1,r_2)) \vphantom{\frac{\min^2(r_1,r_2)}{\max^2(r_1,r_2)}} \right. \\ &\phantom{{} = 2 \pi \int \limits_0^r \int \limits_0^r \int \limits_0^{\pi} \left[\vphantom{\frac{\min^2(r_1,r_2)}{\max^2(r_1,r_2)}} \right.} \left. + \ln \left(1 + \frac{\min^2(r_1,r_2)}{\max^2(r_1,r_2)} - 2 \frac{\min(r_1,r_2)}{\max(r_1,r_2)} \cos(s) \right)\right] r_1 r_2 \, \mathrm{d} s \, \mathrm{d} r_1 \mathrm{d} r_2 \, . \end{align}$$ Der$s$-Integral des ersten Terms in der eckigen Klammer ist trivial, das Integral des zweiten Terms ist Null (siehe diese Frage). Deshalb, $$\begin{align} I (r) &= 4 \pi^2 \int \limits_0^r \int \limits_0^r \ln(\max(r_1,r_2)) r_1 r_2 \, \mathrm{d} r_1 \mathrm{d} r_2 = 8 \pi^2 \int \limits_0^r \int \limits_0^{r_2} \ln(r_2) r_1 r_2 \, \mathrm{d} r_1 \mathrm{d} r_2\\ &= 4\pi^2 \int \limits_0^r \ln(r_2) r_2^3 \, \mathrm{d}r_2 = \pi^2 \left(r^4 \ln(r) - \int \limits_0^r r_2^3 \, \mathrm{d}r_2\right) = \pi^2 r^4 \left[\ln(r) - \frac{1}{4}\right] . \end{align}$$ Es gibt tatsächlich einen kritischen Wert$r_\text{c} = \mathrm{e}^{1/4}$so dass$I(r) < 0$für$r < r_\text{c}$Und$I(r) > 0$für$r > r_\text{c}$.

Lassen$A = \int_{B(0,1)} \ln(\|x\|)dx$und wähle$r$so dass$\pi r^2 \gt 4\pi + \frac{|A|}{\ln 2}$.

Für alle fest$y \in B(0,r)$, schreiben

$$B_1= \{x \in B(0,r):\|x-y\|\le 1 \}$$ Und $$B_2= \{x \in B(0,r):\|x-y\|\ge 2 \}$$ Dann haben wir:

$$\int_{B(0,r)} \ln(\|x-y\|)dx \ge \int_{B_1} \ln(\|x-y\|)dx + \int_{B_2} \ln(\|x-y\|)dx$$ $$\ge \int_{B(0,1)} \ln(\|x|)dx + \int_{B_2}(\ln 2) dx$$ $$\ge A + (\pi r^2 - 4\pi)(\ln 2) \gt 0$$

Mit$C = A + (\pi r^2 - 4\pi)(\ln 2)$, das bedeutet:

$$\int_{B(0,r)} \int_{B(0,r)} \ln(\|x-y\|)dxdy \gt \int_{B(0,r)} C dy = \pi r^2 C \gt 0$$

Beachten Sie nun, dass die Funktion

$$f(r) = \int_{B(0,r)} \int_{B(0,r)} \ln(\|x-y\|)dxdy$$

ist kontinuierlich,$f(1) \lt 0$und nach den obigen Berechnungen$f(r) \gt 0$für groß genug$r$, also gibt es einen Mindestwert$r_0$Wo$f(r_0) = 0$und das ist leicht zu sehen$f(r) \gt 0$für alle$r \gt r_0$