∣∣∫10ddtu(tx)dt∣∣≤∫10∑Ni=1|xi|∣∣∂u(tx)∂xi∣∣dt|∫01ddtu(tx)dt|≤∫01∑i=1N|xi| |∂u(tx)∂xi|dt\left|\int_0^1\frac d{dt}u(tx)\,dt\right|\le\int_0^1\sum_{i=1}^N|x_i |\left|\frac{\partial u(tx)}{\partial x_i}\right|dt für u∈C1c(RN)u∈Cc1(RN)u\in C^1_c(\Bbb{R}^N )

Question

∣∣∫10ddtu(tx)dt∣∣≤∫10∑Ni=1|xi|∣∣∂u(tx)∂xi∣∣dt|∫01ddtu(tx)dt|≤∫01∑i=1N|xi| |∂u(tx)∂xi|dt\left|\int_0^1\frac d{dt}u(tx)\,dt\right|\le\int_0^1\sum_{i=1}^N|x_i |\left|\frac{\partial u(tx)}{\partial x_i}\right|dt für u∈C1c(RN)u∈Cc1(RN)u\in C^1_c(\Bbb{R}^N )

Ungleichheit
Integration
Mathematik
Realanalyse
partielle Ableitung
funktionsanalyse

Nunzio Dimola

Es ist meine erste Frage, also entschuldigen Sie mich, wenn es wahrscheinlich nicht sehr gut geschrieben ist. Beim Lesen des Beweises der Morreyschen Ungleichung (Theorem 9.12 in " Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations " von H. Brezis) blieb ich bei folgender Ungleichung hängen:

| u (X) - u (0) | = | \int_{0}^{1} \frac{D}{D T} u (T X) D T | \leq \int_{0}^{1} \sum_{ich = 1}^{N} | X_{ich} | | \frac{\partial u (T X)}{\partial X_{ich}} | D T

$|u(x)-u(0)|=\left|\int_{0}^{1} \frac{d}{dt}u(tx)\,dt \right|\leq \int_{0}^{1}\sum_{i=1}^{N}|x_{i}|\left| \frac{\partial u (tx)}{\partial x_{i}}\right| dt$ mit

x \in R^{N}

$x \in \mathbb{R}^{N}$ Und

u \in C_{c}^{1} (R^{N})

$u \in C^{1}_{c}(\mathbb{R}^{N})$ . Ich bin neu in fortgeschrittener Mathematik, also kann mir jemand ein paar Tipps dazu geben? Ich entschuldige mich, wenn es etwas Triviales ist. Vielen Dank für Ihre Freundlichkeit! :)

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∣∣∫10ddtu(tx)dt∣∣≤∫10∑Ni=1|xi|∣∣∂u(tx)∂xi∣∣dt|∫01ddtu(tx)dt|≤∫01∑i=1N|xi| |∂u(tx)∂xi|dt\left|\int_0^1\frac d{dt}u(tx)\,dt\right|\le\int_0^1\sum_{i=1}^N|x_i |\left|\frac{\partial u(tx)}{\partial x_i}\right|dt für u∈C1c(RN)u∈Cc1(RN)u\in C^1_c(\Bbb{R}^N )

Calvin Chor · Answer 1

Lassen $x$ festgesetzt werden. Wenn $g:[0,1]\to \mathbb R^N, \ g(t):=tx$ , Dann $g'(t)=x$ . Also nach der multivariaten Kettenregel
$\frac{D}{D T} u (T X) = \frac{D}{D T} (u \circ G) (T) = (\nabla u) (G (T)) \cdot G^{'} (T) = X \cdot \nabla u (T X) = \sum_{ich = 1}^{N} X_{ich} \frac{\partial u}{\partial X_{ich}} (T X)$ $\frac d{dt} u(tx) = \frac d{dt} (u \circ g)(t) = (\nabla u)(g(t)) \cdot g'(t) = x\cdot\nabla u(tx) = \sum_{i=1}^N x_i \frac{\partial u}{\partial x_i} (tx)$
Das Integral erfüllt eine Dreiecksungleichung $|\int f|\le \int |f|$ . Somit
$\begin{aligned} | u (X) - u (0) | & \leq | \int_{0}^{1} \frac{D}{D T} u (T X) D T | \\ \overset{S T e P 1.}{=} | \int_{0}^{1} X \cdot \nabla u (T X) D T | \\ \leq \int_{0}^{1} | X \cdot \nabla u (T X) | D T \\ = \int_{0}^{1} | \sum_{ich = 1}^{N} X_{ich} \frac{\partial u}{\partial X_{ich}} (T X) | D T \\ \leq \int_{0}^{1} \sum_{ich = 1}^{N} | X_{ich} | | \frac{\partial u}{\partial X_{ich}} (T X) | D T \end{aligned}$ $\begin{align} |u(x) - u(0)| &\le \left| \int_0^1 \frac{d}{dt} u(tx) dt \right| \\ &\overset{step1.} = \left| \int_0^1 x\cdot\nabla u(tx) \ dt \right| \\&\le \int_0^1 |x\cdot \nabla u(tx)| dt \\ &= \int_0^1 \left| \sum_{i=1}^N x_i \frac{\partial u}{\partial x_i} (tx)\right|dt \\ & \le \int_0^1 \sum_{i=1}^N |x_i| \left|\frac{\partial u}{\partial x_i} (tx)\right| dt \end{align}$ das ist die RHS.

@NunzioDimola kein Problem; Viel Glück mit Brezis, es ist hart, aber lohnend!
Eigentlich beschäftige ich mich mit Morreys Ungleichung aus "Vorlesungsnotizen zur Funktionsanalyse" von A. Bressan, und ich bin über eine andere Ungleichung gestolpert $\nabla u$ , also habe ich versucht, Erklärungen für das Brezis-Buch zu finden, aber ich bin sofort von der Ungleichheit überrascht, die ich in der vorliegenden Frage gestellt habe. Ich werde wahrscheinlich noch eine Frage dazu posten.

∣∣∫10ddtu(tx)dt∣∣≤∫10∑Ni=1|xi|∣∣∂u(tx)∂xi∣∣dt|∫01ddtu(tx)dt|≤∫01∑i=1N|xi| |∂u(tx)∂xi|dt\left|\int_0^1\frac d{dt}u(tx)\,dt\right|\le\int_0^1\sum_{i=1}^N|x_i |\left|\frac{\partial u(tx)}{\partial x_i}\right|dt für u∈C1c(RN)u∈Cc1(RN)u\in C^1_c(\Bbb{R}^N )

Nunzio Dimola

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