Spektrum des hermitischen Elements Beweis

Ich sehe mir den folgenden Beweis an und bin mir bei einem bestimmten Teil nicht sicher.

Satz: Angenommen, das$a \in A$ist ein hermitisches Element von a$C^{*}-$Algebra$A$. Dann$\sigma(a) \subset \mathbb{R}$.

Beweis: WLOG Das dürfen wir annehmen$A$unitär ist, sonst können wir das Ergebnis für die Unitisierung beweisen$\hat{A}$und nutzen Sie die Tatsache, dass$\sigma_{\hat{A}}(a) = \sigma_A(a)$. Seit$e^{ia}$ist einheitlich,$\sigma(e^{ia}) \subset T$für$T$der Einheitskreis hinein$\mathbb{C}$. Wenn$\lambda \in \sigma(a)$, Und$b = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^n(a-\lambda I)^{n-1}}{n!}$, Dann:

$$e^{ia}-e^{i\lambda}I = (e^{i(a-\lambda I)}-I)e^{i \lambda} = (a-\lambda I)be^{i \lambda}.$$ Seit$b$pendelt mit$a$Und$(a-\lambda I) \notin \text{Inv}(A)$, es folgt dem$e^{ia}-e^{i\lambda}I \notin \text{Inv}(A)$, So$e^{i \lambda} \in \sigma(e^{ia}) \subset T$, So$\lambda \in \mathbb{R}$.

Der Beweis ist einfach genug, aber ich verstehe nicht, warum wir ihn brauchen$b$mit zu pendeln$a$. Wie, ich verstehe warum$b$pendelt mit$a$, seit$a$pendelt mit$(a-\lambda I)^n$für alle$n \in \mathbb{N}$. Aber diese Tatsache scheint bedeutungslos zu sein, damit der Beweis funktioniert.

Ist es nicht immer so, wenn ich ein Produkt von Elementen habe$\prod_{k=1}^n a_k \in A$in einer Algebra$A$Das$\prod_{k=1}^n a_k \in \text{Inv}(A)$dann und nur dann, wenn$a_k \in \text{Inv}(A)$für alle$k=1,2,\dots,n$? Mach das$a_k$müssen die auch miteinander pendeln?

Müssten wir also nicht einfach sagen: „Seit$(a-\lambda I) \notin \text{Inv}(A)$, das Produkt$(a-\lambda I)be^{i \lambda} = e^{ia} - e^{-\lambda}I \notin \text{Inv}(A)$."?