Gibt es eine Formel für das Haar-Maß für ein Produkt von Gruppen?

Ich habe nur die Antwort für den Fall endlicher Produkte, und ich freue mich auf jeden Fall darauf, einen Beweis für den allgemeinen Fall von irgendjemandem aus der MSE-Community zu sehen.

Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass alle topologischen Gruppen sind$T_{1}$-Räume, was sie automatisch zu Hausdorff-Räumen macht. (Allgemein,$T_{1}$-Leerzeichen sind nicht Hausdorff.)

Erinnern Sie sich, dass ein Haar-Maß auf einer lokal kompakten topologischen Gruppe ist$G$ist als reguläres Borel-Maß an definiert$G$das linksinvariant ist und das auf kompakten Teilmengen von endlich ist$G$.

Hinweis: Ein Borel-Maß auf einem topologischen Raum$X$heißt regulär genau dann, wenn jede Borel-messbare Teilmenge von$X$ist außen offen-regulär (dh es kann im Maß beliebig eng durch seine offenen Obermengen angenähert werden) und jede offene Teilmenge von$X$ist innerkompakt-regulär (dh sie kann durch ihre kompakten Teilmengen im Maß beliebig nahe angenähert werden).

Lassen$G_{1},\ldots,G_{n}$seien lokal kompakte topologische Gruppen mit entsprechenden Haar-Maßen$\mu_{1},\ldots,\mu_{n}$. Beachten Sie das$G := G_{1} \times \cdots \times G_{n}$ist in der Tat lokal kompakt (wenn dies nicht so wäre, wäre es sinnlos, diese Diskussion fortzusetzen).

Definieren Sie eine nicht negative lineare Funktion$\Phi$An${C_{c}}(G)$als iteriertes Integral auf folgende Weise:

$$\forall F \in {C_{c}}(G): \quad \Phi(F) \stackrel{\text{def}}{=} \int_{G_{1}} \cdots \int_{G_{n}} F ~ \mathrm{d}{\mu_{1}} \cdots \mathrm{d}{\mu_{n}}.$$ Man kann zeigen, indem man ein einfaches Näherungsargument verwendet und sich nicht auf den Satz von Fubini beruft, dass das Permutieren der Reihenfolge des Erscheinens der$G_{i}$ist in der Definition von$\Phi$führt zu keinen Änderungen. Genauer gesagt für jede Permutation$\sigma: [n] \to [n]$, wir haben $$\forall F \in {C_{c}}(G): \quad \Phi(F) = \int_{G_{\sigma(1)}} \cdots \int_{G_{\sigma(n)}} F ~ \mathrm{d}{\mu_{\sigma(1)}} \cdots \mathrm{d}{\mu_{\sigma(n)}}.$$ Nach dem Riesz-Darstellungssatz (wie er in Walter Rudins Real and Complex Analysis vorgestellt wird ) existiert ein reguläres Borel-Maß$\mu$An$G$das ist endlich auf kompakten Teilmengen von$G$und befriedigt $$\forall F \in {C_{c}}(G): \quad \Phi(F) = \int_{G} F ~ \mathrm{d}{\mu}.$$ Als$\Phi$linksinvariant ist, folgt daraus$\mu$ist ebenfalls linksinvariant. Somit,$\mu$qualifiziert sich als Haar-Maß an$G$. Um zu beweisen, dass $$(\spadesuit) \quad \forall F \in {L^{1}}(G,\mu): \quad \int_{G} F ~ \mathrm{d}{\mu} = \int_{G_{\sigma(1)}} \cdots \int_{G_{\sigma(n)}} F ~ \mathrm{d}{\mu_{\sigma(1)}} \cdots \mathrm{d}{\mu_{\sigma(n)}}$$ für jede Permutation$\sigma: [n] \to [n]$, müssen wir uns diesmal auf Fubinis Theorem (dargestellt in Form von Theorem 13.8 von Edwin Hewitts und Kenneth A. Ross' Abstract Harmonic Analysis. Volume 1 - Structure of Topological Groups. Integration Theory. Group Representations. Second Edition ) berufen.

Fazit: Da ein Haar-Maß bis zur Skalierung um einen positiven Faktor eindeutig ist, folgt daraus$\mu$liegt das einzigartige Haarmaß an$G$das befriedigt$(\spadesuit)$.