In Roydens Real Analysis-Buch definiert er für eine Sammlung von Teilmengen einer Menge ein Maß dafür, eine Mengenfunktion zu sein das sowohl endlich additiv als auch abzählbar monoton ist und wenn Dann . Ein Problem in dem Buch besteht darin, zu zeigen, dass ein Vormaß in einer Sigma-Algebra ein Maß ist (wobei ein Maß definiert ist, um zählbare Additivität zu erfüllen).
Also möchte ich letztendlich zeigen, dass eine Mengenfunktion gegeben ist auf einer Sigma-Algebra , dass abzählbar monoton und endlich additiv abzählbar additiv impliziert.
Ich habe Probleme, das herauszufinden. Es scheint darauf hinauszulaufen, das zu zeigen , da die umgekehrte Ungleichung wegen zählbarer Monotonität gilt. Wie beweist man diese Ungleichung?
Lassen sei eine abzählbare disjunkte Folge von Mengen in . Lassen . Lassen . Lassen . Dann . Dann wenn , wir haben , So . Wenn , Dann ist eine abnehmende Folge, die unten begrenzt ist durch , hat also eine Grenze . Dann indem man Grenzen nimmt. Aber , So , Und .