Lokal endliche vs. Borel-Maße auf σσ\sigma-kompakten polnischen Räumen

Lassen E ein polnischer Raum sein, und lassen μ ein Maß sein E . Definieren Sie die folgenden Eigenschaften:

  • E Ist σ - kompakt , wenn E ist die abzählbare Vereinigung kompakter Mengen.
  • E ist lokal kompakt, wenn alle X ∈ E hat eine offene Nachbarschaft U dessen Schließung kompakt ist.
  • μ ist lokal endlich, wenn für alle gilt X ∈ E , gibt es eine offene Menge U ⊂ E enthält X mit μ ( U ) < ∞ .
  • μ ist ein Borel-Maß, wenn für jeden Kompakten K ⊂ E , wir haben μ ( K ) < ∞ .

Offensichtlich ist Borel ein lokal endliches Maß. Und wenn E lokal kompakt ist (nicht einmal notwendigerweise trennbar oder vollständig), Borel-Maße sind notwendigerweise lokal endlich. Aber gibt es allgemeinere Bedingungen, für die Borel-Maße lokal endlich sind?

Frage: Wenn E ist ein σ -kompakter polnischer Raum und μ ein Borel-Maß ist, ist μ lokal endlich?

Mir fällt kein Gegenbeispiel dazu ein, aber ich habe Probleme, es zu beweisen. Meine ursprüngliche Strategie war zu beweisen, dass a σ -kompakter polnischer Raum ist lokal kompakt. Wie die Kommentare jedoch zeigen, σ -kompakt Polnische Räume sind nicht notwendigerweise lokal kompakt, so dass diese Strategie nicht funktioniert. Ein Gegenbeispiel ist die Teilmenge X ⊂ ℓ 2 durch die Vereinigung der Linien gegeben X k = { λ e k : λ ∈ R } , Wo { e k } k ≥ 1 ist die Standardorthonormalbasis von ℓ 2 . Dann X Ist σ -kompakt, aber nicht lokal kompakt (speziell am Ursprung).

Aber ich bin mir bei einer Maßnahme nicht sicher μ auf diesem Raum ist das Borel, aber nicht lokal endlich; Das Problem ist, dass es kompakte Teilmengen von gibt X enthält 0 und schneiden unendlich viele der X k . Fällt jemandem ein Gegenbeispiel ein?

Das Leerzeichen im Link ist eine geschlossene Teilmenge von R 2 , sollte also lokal kompakt sein. Allerdings bin ich mir im Moment nicht sicher, was ein vollständig metrisierbares Trennzeichen ist σ - kompakter und nicht lokal beengter Raum sein sollte. Ich hatte eine Idee, aber ich scheine momentan nicht in der Lage zu sein, sie umzusetzen.
Von Baire a σ -kompakt polnisch X ist irgendwo lokal kompakt. Ihre Idee gilt also für homogene Räume.
In ℓ 2 lassen e k , k ∈ N sei die Standardorthonormalbasis. Dann X = { λ e k ∣ k ∈ N , λ ∈ R } in der Unterraumtopologie ist σ -kompakt, polnisch, aber nicht lokal kompakt.
@HennoBrandsma ist es nicht X einfach ℓ 2 in deinem beispiel?
Nein, das würde lineare Kombinationen (Summen) der enthalten e k sowie. Dies ist nur eine Ansammlung von Linien durch den Ursprung.
Oh natürlich, ich bin dumm. Okay, also insbesondere der Ursprung hat keine kompakte Nachbarschaft. Vermietung μ sei das Lebesgue-Maß auf jeder Zeile, μ ist Borel ... aber es scheint mir μ ist immer noch lokal endlich am Ursprung ...
Andererseits, wenn L k := { λ e k : λ ≠ 0 } ⊂ ℓ 2 Und μ = ∑ k = 1 ∞ δ L k , Dann μ ist Borel, aber nicht lokal endlich am Ursprung! Scheint das zu funktionieren?
δ L k wird wie definiert?
Das Dirac-Maß auf diesen Sets: δ A ( B ) = 1 iff A ∩ B ≠ ∅ Und δ A ( B ) = 0 ansonsten
Vielleicht hat Teil 4 (topologische Maße) von Fremlins großem Buch mehr Ideen für Beispiele.

Antworten (1)

Ich denke, dass die Idee aus dem roten Faden tatsächlich funktioniert:

Lassen e N , N ∈ N sei die orthonormale Standardbasis des Hilbert-Raums ℓ 2 . Lassen X = { λ e N ∣ N ∈ N , λ ∈ R } . Dann X Ist σ -kompakt polnisch, aber nicht lokal kompakt (at 0 ).

Lassen L k = { λ e k : λ ≠ 0 } Und δ A sei das Dirac-Maß mit Träger A : δ A ( B ) = 1 iff A ∩ B ≠ ∅ Und 0 andernfalls können wir definieren μ = k = 1 ∞ δ L k , was ein Borel-Maß ist (nicht σ -endlich und nicht lokal endlich 0 ), aber (glaube ich) endlich bei compacta.

Ich habe nicht alle wichtigen Details überprüft. Andere könnten sich geneigt fühlen, dies hinzuzufügen.

Eigentlich bin ich mir nicht sicher, ob dies für kompakt endlich ist K ⊂ X . Lassen K k = { λ e k : 0 ≤ λ ≤ k − 1 } ⊂ L ¯ N . Ganz klar jeder K k ⊂ X ist kompakt. Lassen K = ⋃ k = 1 ∞ K k . Dann wenn ( X N ) ⊂ K eine beliebige Folge ist, hat sie offenbar eine endliche Teilfolge, wenn die Folge in endlich vielen liegt L k ; und wenn die Folge in unendlich vielen liegt L k , Dann X N konvergiert zu 0 . So K ist sequentiell kompakt und daher kompakt, obwohl μ ( K ) = ∞ .
(Oder zumindest im obigen Beispiel X N hat eine Teilfolge , die gegen konvergiert 0 Wenn X N liegt in unendlich vielen L k .)
@DFord Dann könnte vielleicht eine andere Summe von Dirac-Maßnahmen funktionieren? Endlich auf Compacta zu sein, ist in Ihrer Definition für ein Borel-Maß notwendig?
Ich habe mit ein paar Summen von Dirac-Maßnahmen gespielt und stoße normalerweise auf ähnliche Probleme. Ich werde weiter darüber nachdenken. (Oder vielleicht lautet die Antwort auf die ursprüngliche Frage doch ja). Aber ja, nach der Definition, auf die ich mich verlasse, müssen Borel-Maße auf kompakten Mengen endlich sein (zumindest ist das die Eigenschaft, die mir wichtig ist); Ich möchte wissen, ob das der lokalen Endlichkeit entspricht.
Lokal endliche vs. Borel-Maße auf σσ\sigma-kompakten polnischen Räumen
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