Funktioniert die folgende Bijektion:
Nimm irgendeinen Punkt Jede reelle Zahl kann durch eine unendlich lange Dezimalerweiterung dargestellt werden (0,235 ist beispielsweise dasselbe wie 0,234999999 ...). Nehmen Sie die reellen Zahlen und verschachteln ihre Dezimalerweiterungen, um eine eindeutige reelle Zahl zu erzeugen Die Nummer Da es eindeutig ist, ist die Abbildung 1-1. Gegeben eine reelle Zahl Man kann die Dezimalerweiterung dieser Zahl gemäß dem durch die Abbildung festgelegten Muster lösen und die reellen Zahlen erzeugen Und , und kommen daher an einem eindeutigen Punkt an
Existiert eine Bijektion?
Sie haben eine Spritze -- aber es ist nicht surjektiv , weil es nichts gibt, was zum Beispiel abbildet
Das Deinterlatieren der Ziffern würde dies erzeugen , aber das ist nicht drin .
Eine Injektion ist jedoch wirklich alles, was Sie brauchen, denn es ist einfach, eine Injektion in die andere Richtung zu finden, und dann erledigt das Schröder-Bernstein-Theorem die Arbeit, sie für Sie zu einer einzigen Bijektion zusammenzufügen.
Nicht ganz. Die Entsprechung zwischen unendlichen Dezimalstellen und Elementen von ist selbst keine Bijektion, da einige Zahlen mehr als eine Dezimalerweiterung haben.
Sie lösen das, indem Sie sich auf die Erweiterung mit unendlich vielen Nicht-Null-Ziffern beschränken, fein. Aber jetzt das Mapping aus Zu ist nicht surjektiv. Es gibt zum Beispiel keine Und die geben . Denn das würde erfordern Und . Aber , also das Bild davon ist eigentlich .
David C. Ullrich