Bedeutet diese Aussage, dass die Menge in RR\mathbb{R} offen ist?

In der Topologie der realen Linie tut dies$(i)$impliziert, dass die Menge A offen ist? Wenn ja, können Sie mir etwas Intuition geben?

$(i)$- Lassen$A$ein Satz sein. Ich falle$a \in A$und alles echte Sequenz$(x_n)$so dass$\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = a$, dann gibt es$n_0 \in \mathbb{N}$so dass$\{x_n: n\geq n_0\} \subseteq A$.

Was habe ich versucht?

Da jede konvergente Folge st$\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = a$, dann für alle$\varepsilon >0$,$\exists N \in \mathbb{N}$st für alle$n\geq N$wir haben:

$$x_n \in (a-\varepsilon, a + \varepsilon)$$

aber das bedeutet nicht$(a-\varepsilon, a + \varepsilon) \subseteq A$. Wenn ich wähle$\varepsilon = |x_{n_0}|$, dann können wir das schließen$(a-|x_{n_0}|, a +|x_{n_0}|) \subseteq A$, für$n\geq N$?

Dies mag für die meisten von Ihnen trivial erscheinen, aber ich stehe am Anfang eines Topologiekurses und lerne immer noch die ersten Definitionen. Danke schön!