Ist jeder Punkt jeder offenen Menge E⊂R2E⊂R2E \subset \mathbb{R^2} ein Grenzwert von EEE? [Beweisprüfung]

Question

Ist jeder Punkt jeder offenen Menge E⊂R2E⊂R2E \subset \mathbb{R^2} ein Grenzwert von EEE? [Beweisprüfung]

DC das III

Klassisches Problem von Baby Rudin, das ich sehen möchte, ob ich es richtig bewiesen habe:

Ist jeder Punkt jeder offenen Menge $E \subset \mathbb{R^2}$ ein Grenzpunkt von $E$ ?

Lösung:

Vermuten $E$ offen ist und ein Punkt existiert $p \in E$ das ist kein Grenzpunkt.

Seit $p$ ist kein Grenzpunkt,

$\Rightarrow$ es gibt nbhd $N_r(p)$ des Satzes $E$ so das für alle $q \neq p$ , $q \notin E$

Aber angesichts dessen $E$ geöffnet ist, das heißt $p$ ist ein innerer Punkt von $E$ .

$\Rightarrow$ es gibt ein nbhds $N_\epsilon(q) \subset N_\delta(p) \subset E$ so dass $q \in E$ Und $q\neq p$

wenn wir min nehmen { $r, \delta$ } Wir haben einen Ball herum $p$ Wo $N_\epsilon(q) \subset B_{min(r,\delta)}(p)$

$\Rightarrow$ es gibt punkte $q \in E$ , $q\neq p$ , Und $q\in B_{min(r,\delta)}(p)$

Das ist ein Widerspruch, weil $p$ wurde als Grenzpunkt angenommen

QED

Benutzer574889

Für andere Räume als

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ diese Eigenschaft ist nicht wahr. Deshalb müssen Sie diese offenen Mengen von verwenden

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ sind Gewerkschaftsscheiben, und jede Scheibe enthält viele Punkte.

zw.

@cactus Also ist es falsch für

R ?

$\mathbb R?$

Lee Mosher

Für einige andere Räume als

R^{2}

$\mathbb R^2$ diese Eigenschaft ist nicht wahr. Aber für

R

$\mathbb R$ und allgemeiner für

R^{n}

$\mathbb R^n$ , es ist in der Tat wahr.

Antworten (3)

Ist jeder Punkt jeder offenen Menge E⊂R2E⊂R2E \subset \mathbb{R^2} ein Grenzwert von EEE? [Beweisprüfung]

Für andere Räume als $\mathbb{R}^2$ diese Eigenschaft ist nicht wahr. Deshalb müssen Sie diese offenen Mengen von verwenden $\mathbb{R}^2$ sind Gewerkschaftsscheiben, und jede Scheibe enthält viele Punkte.
Für einige andere Räume als $\mathbb R^2$ diese Eigenschaft ist nicht wahr. Aber für $\mathbb R$ und allgemeiner für $\mathbb R^n$ , es ist in der Tat wahr.

Balljunge · Answer 1

Balljunge

Es sieht nicht so aus, als hättest du einen Widerspruch gezeigt. Es scheint, als hätten Sie gezeigt, dass es eine Nachbarschaft gibt $N_r(p)$ so dass alle Punkte in dieser Nachbarschaft (außer $p$ selbst) sind draußen $E$ , und es existiert eine Nachbarschaft $N_\delta(p)$ so dass irgendein Punkt in der Nachbarschaft in ist $E$ . Aber die beiden Nachbarschaften müssen nicht gleich sein, was ist also der Widerspruch?

Du bist aber ganz in der Nähe.

DC das III

Ich habe meine Lösung ein wenig bearbeitet. ich denke das regelt es....

Balljunge

@ dc3rd Ich sehe immer noch nicht, was der Widerspruch ist. Vielleicht sollten Sie versuchen, den Widerspruch deutlicher zu machen.

Benutzer574889

@ dc3rd Sie haben die Form der Nachbarschaften immer noch nicht verwendet

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ . Wenn Sie das zur letzten Implikation hinzufügen

N_{δ} (p)

$N_{\delta}(p)$ enthält eine Kugel

{x : ‖ x - p ‖ < s_{1}}

$\{x:\ \|x-p\|<s_1\}$ , und enthält daher viele Punkte von

E

$E$ neben

p

$p$ . Dann können Sie es mit einem anderen Ball vergleichen

{x : ‖ x - p ‖ < s_{2}}

$\{x:\ \|x-p\|<s_2\}$ Enthalten in

N_{r} (p)

$N_{r}(p)$ die nur enthalten sollte

p

$p$ aus

E

$E$ . Unter Verwendung der besonderen Form offener Mengen von

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ ist notwendig, da in einem Raum wie

[0, 1] \cup {2}

$[0,1]\cup\{2\}$ , mit der induzierten Topologie aus

R

$\mathbb{R}$ , der Satz

{2}

$\{2\}$ ist offen, aber sein Punkt ist kein Grenzpunkt.

DC das III

@cactus das wäre die direkte Methode des Beweises, aber ich versuche es über Widerspruch ...

Benutzer574889

@ dc3rd Nein. Verwenden Sie das

p

$p$ ist nicht limitiert bekommt man einen Ball in dem der einzige Punkt ist

E

$E$ Ist

p

$p$ . Verwenden Sie das

E

$E$ offen ist, erhalten Sie eine Kugel, in der alle Punkte drin sind

E

$E$ und es gibt viele andere Punkte

p

$p$ . Die kleinere der beiden Kugeln hat gleichzeitig viele Spitzen

E

$E$ und nur

p

$p$ . Das ist der Widerspruch.

DC das III

@cactus Ich habe meine Lösung bearbeitet. Könnt ihr mal gucken und mir eure Meinung sagen? Ich habe versucht, nicht genau zu wiederholen, wie Sie es Wort für Wort gesagt haben, und mir zu erlauben, es zu überdenken.

Benutzer574889

@dc3rd Es ist immer noch umständlich, weil es kleine Teile gibt, die nicht wirklich wahr sind. Zum Beispiel, wenn

min (r, δ) = r

$\min(r,\delta)=r$ , dann vielleicht

N_{ϵ} (q)

$N_\epsilon(q)$ ist nicht drin

B_{min (r, δ)} (p)

$B_{\min(r,\delta)}(p)$ . Außerdem gibt es die Notation

B_{s} (p)

$B_s(p)$ soll angeblich eine Kugel mit Radius bedeuten

s

$s$ und zentriert auf

p

$p$ , aber was ist dann das

r

$r$ In

N_{r} (p)

$N_r(p)$ ? Eine Nachbarschaft, die einen Ball mit Radius enthält

r

$r$ ? Wenn Sie vermuten, dass die Notation nicht sehr allgemein ist, ist es sicherer, sie zu definieren, nur um es klar zu stellen. Sehr wahrscheinlich, wenn Sie ein Bild zeichnen, das Sie beim Verfassen des Arguments anleitet.

Mohammad Riazi-Kermani · Answer 2

Du versuchst deine Aussage durch Widerspruch zu beweisen. Während ein direkter Beweis in diesem Fall einfacher ist, haben Sie einige Fortschritte in Ihrem Beweis gemacht. Ihre Idee ist richtig, aber Sie müssen mit Ihren Quantoren vorsichtiger sein.

Ich habe einige der direkten Beweise gesehen. Mich würde interessieren, warum du das Gefühl hast, dass sie einfacher sind? Als ich versuchte, diesen Beweis zu erbringen, fielen mir die direkten Methoden gar nicht ein.
Sie haben in diesem Fall eine sehr starke Hypothese, nämlich dass die Menge offen und die Topologie metrisch ist. Warum nicht direkt zeigen, dass jeder Punkt ein Grenzpunkt ist?

xbh · Answer 3

Per Definition alle $x \in E$ ist innen zu $E$ , also gibt es eine Kugel $B(x, r)$ mit $r > 0$ Enthalten in $E$ . Für jede Nachbarschaft von $x$ , es schneidet sich mit $B(x,r) \setminus \{r\}$ zumindest an einem Punkt, so $x$ muss ein Grenzpunkt sein.

Ist jeder Punkt jeder offenen Menge E⊂R2E⊂R2E \subset \mathbb{R^2} ein Grenzwert von EEE? [Beweisprüfung]

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zw.

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Mohammad Riazi-Kermani

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xbh

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