Starke Topologie und einheitliche Konvergenz

Lassen$B_1(0)$bezeichnen die Einheit ball in$X$Und$f_n,f,X,X^{\ast}$wie in der frage.

Das willst du also zeigen$\Vert f_n - f \Vert \rightarrow 0$dann und nur dann, wenn$\sup_{x \in B_1(0)} \Vert (f_n - f)(x) \Vert \rightarrow 0$.

$\Rightarrow$: Lassen$\Vert f_n - f \Vert \rightarrow 0$, dann haben wir

Hier ist die erste Ungleichung durch die Standardgrenze gegeben und die zweite, da das Supremum über einer solchen liegt$x \in X$mit$\Vert x \Vert \leq 1$.

$\Leftarrow$: Lassen$\sup_{x \in B_1(0)} \Vert (f_n - f)(x) \Vert$, dann haben wir per Definition der Operatornorm