Schwierigkeiten zu verstehen, warum natürliche Zahlen nicht offen sind

Ich habe einen Realanalysekurs, der auf den Prinzipien der Realanalyse von Aliprantis und Birkenshaw basiert. Ich habe bereits Kurse in Analysis absolviert und weiß, wie man zeigt, dass die Menge der natürlichen Zahlen eine abgeschlossene Menge ist.

Sie definieren den Radius der offenen Kugel R auf die typische Weise. Im Abschnitt über metrische Räume definieren die Autoren jedoch einen Punkt X 0 ein innerer Punkt einer Teilmenge sein A wenn es einen offenen Ball gibt B ( X 0 , R ) so dass B ( X 0 , R ) ⊆ A . Hier liegt mein Unverständnis. Wenn wir überlegen N selbst ein metrischer Raum zu sein, nicht eine Teilmenge davon R , mit der üblichen Metrik, für alle R > 0 Der offene Ball enthält nur die Zahl selbst und andere natürliche Zahlen. Dann klar, B ( R , X 0 ) ⊆ N . Es handelt sich also um eine offene Menge.

Wo mache ich einen Irrtum?

Als metrischer Raum mit der üblichen Metrik, N ist diskret. Das macht jede Teilmenge von N (natürlich einschließlich sich selbst) ist offen (und gleichzeitig geschlossen).
Es wird zwischen nicht offen und geschlossen unterschieden . Mit dem Üblichen D ( M , N ) = | M − N | metrisch an N , jede Menge ist sowohl abgeschlossen als auch offen
Ihr Irrtum behandelt "offene Menge" als absoluten Begriff, unabhängig von jedem metrischen Raum. Stattdessen ist "offene Teilmenge" ein Begriff, der relativ zu einem bestimmten metrischen Raum definiert ist, von dem die gegebene Menge eine Teilmenge ist. So ist es möglich für ein und dasselbe Set, z N , um eine offene Teilmenge eines Leerzeichens zu sein, zB von N selbst, und eine nicht-offene Teilmenge eines anderen Raums zu sein, z. B. von R .
@LeeMosher Natürlich habe ich vergessen, dass in der Definition eines offenen Balls die spezifische Metrik enthalten ist. Danke, jetzt habe ich es verstanden!
Inzwischen für jeden Satz S und jede Metrik an S , beide S Und ∅ sind sowohl offen als auch geschlossen. Zum Beispiel auf R und die übliche Metrik, R und und ∅ sind die einzigen Mengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind; N und das Intervall [ 0 , 1 ] sind geschlossen, aber nicht offen; N C und das Intervall ( 0 , 1 ) sind offen, aber nicht geschlossen; das Intervall ( 0 , 1 ] ist weder offen noch geschlossen.

Antworten (2)

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Ihr Irrtum behandelt "offene Menge" als absoluten Begriff, unabhängig von jedem metrischen Raum.

Stattdessen ist "offene Teilmenge" ein Begriff, der relativ zu einem bestimmten metrischen Raum definiert ist, von dem die gegebene Menge eine Teilmenge ist. So ist es zum Beispiel für ein und dasselbe Set möglich N , um eine offene Teilmenge eines Leerzeichens zu sein, wie z N selbst und eine nicht offene Teilmenge eines anderen Raums wie z R .

Betrachten Sie das Beispiel, um die vorherige Antwort zu erweitern X 0 = 3 , R = 0,5 . Betrachtet man es als Teilmenge von N , Dann B ( R , X 0 ) = { 3 } ist eine offene Teilmenge von N . Aber wenn als eine Teilmenge von betrachtet R , Dann B ( R , X 0 ) = ( 2.5 , 3.5 ) Dies ist ein unzählbares offenes Intervall, das alle Punkte zwischen 2,5 und 3,5 enthält und keine Teilmenge von ist N .

Es ist alles relativ zum übergeordneten Raum. Wenn X ist dann ein metrischer Raum

B ( R , X 0 ) = { X ∈ X : D ( X , X 0 ) < R }

ist die Definition des offenen Kugelradius R zentriert bei X 0 In X . Beachten Sie, dass der Ball alle Punkte von enthält X die eine Distanz sind R aus X 0 . Also in Ordnung für eine Teilmenge A ⊆ X Um einen inneren Punkt zu haben, muss er einen offenen Ball enthalten X .

Jede Teilmenge kann relativ zu sich selbst (d. h. in der geerbten Topologie) als "offen" betrachtet werden , aber dies unterscheidet sich von einer offenen Teilmenge von X .

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