Zeigen, dass diese Menge AAA abgeschlossen, beschränkt und nicht kompakt ist?

Lassen

$$l^1(\mathbb{N}) = \left\{ (x_n)_n \mid \sum_{n = 0}^{\infty} | x_n | \ \text{converges} \right\},$$ der Raum aller Folgen, deren zugehörige Reihen absolut konvergieren. Auf diesem Raum betrachten wir die Metrik $$d_1((x_n)_n, (y_n)_n) = \sum_{n = 0}^{\infty} |x_n - y_n|.$$ Betrachten Sie nun die Teilmenge $$A = \left\{x \in l^1(\mathbb{N}) \mid d_1(x,0) = 1 \right\}.$$ Das muss ich beweisen $A$ist abgeschlossen, beschränkt und nicht kompakt.

Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie auf Fehler hinweisen, die ich gemacht habe.

Versuchen:

Geschlossen: Let$(x_n)_n$sei eine Folge in$A$, so dass$(x_n) \rightarrow (y_n)$für die$d_1$metrisch, wo$(y_n)_n \in l^1(\mathbb{N})$. Das will ich beweisen$(y_n)_n \in A$, dh das$d_1(y_n,0) = 1$. Lassen$\epsilon > 0$. Seit$(x_n) \rightarrow (y_n)$, es existiert ein$n_0 \in \mathbb{N}$so dass

$$\sum_{k=n_0 +1}^{\infty} |x_k - y_k| < \epsilon/2.$$ Also durch die Dreiecksungleichung $$\sum_{k=n_0 +1}^{\infty} |y_k| \leq \sum_{k=n_0 + 1}^{\infty} |y_k - x_k | + \sum_{k=n_0 +1}^{\infty} |x_k| < \epsilon/2 + \sum_{k=n_0 +1}^{\infty} |x_k|$$ Es folgt dem $$\sum_{k=0}^{\infty} |y_k| = \sum_{k=0}^{n_0} |y_k| + \sum_{k=n_0+1}^{\infty} |y_k| < \epsilon/2 + 1$$ seit $\sum_{k}^{\infty} |x_k| = 1.$Seit $\epsilon > 0$willkürlich war, zeigt dies $\sum_k |y_k| = 1$und so $(y_n)_n \in A.$

Begrenzt: Let$M=2$. Lassen$x,y \in A$. Dann$d_1(x,y) \leq d_1(x,0) + d_1(0,y) = 1 + 1 = 2 = M.$Somit$A$ist begrenzt.

Nicht kompakt: Ich möchte eine Sequenz finden in$A$das hat keine konvergente Teilfolge oder eine offene Abdeckung von$A$die keine endliche Unterüberdeckung hat. Aber mir fehlt hier im Moment die Inspiration. Jede Hilfe ist willkommen.